Как можно разложить на множители выражение: х³ + 8у³ - 2х²у - 4ху²?

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс х³ + 8у³ формулы разложения математические выражения

Чтобы разложить данное выражение на множители, начнем с анализа его структуры. Выражение имеет вид:

х³ + 8у³ - 2х²у - 4ху²

Мы можем заметить, что в этом выражении присутствуют кубы и произведения переменных. Сначала попробуем сгруппировать члены, чтобы упростить разложение:

• Сгруппируем первые два и последние два члена:

(х³ + 8у³) + (-2х²у - 4ху²)

Теперь разложим каждую из групп:

1. Первая группа: х³ + 8у³
• Это сумма кубов, которую можно разложить по формуле: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
• Здесь a = х, b = 2у. Подставляем:
• х³ + (2у)³ = (х + 2у)(х² - 2ху + 4у²).
2. Вторая группа: -2х²у - 4ху²
• Здесь мы можем вынести общий множитель -2ху:
• -2ху(х + 2у).

Теперь подставим разложенные группы обратно в выражение:

(х + 2у)(х² - 2ху + 4у²) - 2ху(х + 2у)

Теперь мы видим, что (х + 2у) является общим множителем для обоих частей. Вынесем его:

(х + 2у) [(х² - 2ху + 4у²) - 2ху]

Упрощаем выражение в квадратных скобках:

(х² - 2ху + 4у² - 2ху) = (х² - 4ху + 4у²)

Теперь это выражение можно заметить как полный квадрат:

(х - 2у)²

Таким образом, окончательное разложение на множители будет выглядеть так:

(х + 2у)(х - 2у)²

Итак, мы разложили исходное выражение:

х³ + 8у³ - 2х²у - 4ху² = (х + 2у)(х - 2у)²

Для того чтобы разложить на множители выражение х³ + 8у³ - 2х²у - 4ху², мы можем воспользоваться методом группировки. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам в этом процессе.

1. Сначала сгруппируем слагаемые:

Мы можем разделить выражение на две группы:

• Первая группа: х³ + 8у³
• Вторая группа: -2х²у - 4ху²
2. Теперь разложим каждую группу:

В первой группе мы видим сумму кубов, которую можно разложить по формуле:

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

В нашем случае a = х, b = 2у (так как 8у³ = (2у)³). Следовательно, мы можем записать:

• х³ + 8у³ = (х + 2у)(х² - 2ху + 4у²)
3. Теперь разложим вторую группу:

Во второй группе мы можем вынести общий множитель:

• -2ху(х + 2у)
4. Теперь объединим обе группы:

Теперь у нас есть:

• (х + 2у)(х² - 2ху + 4у²) - 2ху(х + 2у)

Мы видим, что (х + 2у) является общим множителем. Вынесем его:

• (х + 2у)((х² - 2ху + 4у²) - 2ху)
5. Упростим выражение в скобках:

Теперь упростим то, что осталось в скобках:

• (х² - 2ху + 4у² - 2ху) = (х² - 4ху + 4у²)

Это выражение также можно разложить, так как оно является квадратом двучлена:

• (х - 2у)²
6. Итак, окончательное разложение:

Теперь мы можем записать всё вместе:

• х³ + 8у³ - 2х²у - 4ху² = (х + 2у)((х - 2у)²)

Таким образом, мы разложили данное выражение на множители:

(х + 2у)(х - 2у)²