Как найти четыре действительных числа, при этом первые три из них образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию? Известно, что сумма крайних членов равна 14, а сумма средних равна 12.

Алгебра 8 класс Системы уравнений четыре действительных числа Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма крайних членов сумма средних членов алгебра 8 класс Новый

Давайте обозначим наши четыре числа как a, b, c и d. По условию задачи у нас есть следующие свойства:

• Числа a, b и c образуют геометрическую прогрессию.
• Числа b, c и d образуют арифметическую прогрессию.
• Сумма крайних членов (a и d) равна 14: a + d = 14.
• Сумма средних членов (b и c) равна 12: b + c = 12.

Теперь давайте разберем каждое из этих условий.

1. Поскольку a, b и c образуют геометрическую прогрессию, можно записать:

b = √(a * c)

2. Поскольку b, c и d образуют арифметическую прогрессию, можно записать:

c = (b + d) / 2

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a + d = 14
• 2) b + c = 12

Теперь выразим d через a из первого уравнения:

d = 14 - a

Подставим это значение d во второе уравнение:

c = (b + (14 - a)) / 2

Теперь у нас есть несколько выражений. Также нам нужно учесть, что:

c = 12 - b

Теперь подставим c в выражение для c:

12 - b = (b + (14 - a)) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2(12 - b) = b + 14 - a

Раскроем скобки:

24 - 2b = b + 14 - a

Переносим все переменные в одну сторону:

24 - 14 = b + 2b - a

10 = 3b - a

Теперь у нас есть еще одно уравнение:

a = 3b - 10

Теперь подставим a в уравнение для d:

d = 14 - (3b - 10)

d = 14 - 3b + 10

d = 24 - 3b

Теперь у нас есть все переменные в зависимости от b:

• a = 3b - 10
• d = 24 - 3b
• c = 12 - b

Теперь мы можем выразить все числа через b:

Теперь подставим значения a, c и d в условие, что b, c и d образуют арифметическую прогрессию:

c - b = d - c

Подставим значения:

(12 - b) - b = (24 - 3b) - (12 - b)

Упростим уравнение:

12 - 2b = 24 - 3b - 12 + b

12 - 2b = 12 - 2b

Это уравнение всегда верно, что означает, что мы можем выбрать любое значение для b, и у нас будут действительные числа. Но у нас есть ограничение на сумму:

Теперь давайте подберем значение b, чтобы найти a, c и d:

Допустим, b = 6:

• a = 3(6) - 10 = 8
• c = 12 - 6 = 6
• d = 24 - 3(6) = 6

Проверим:

• Сумма крайних: 8 + 6 = 14 (верно)
• Сумма средних: 6 + 6 = 12 (верно)

Таким образом, числа a, b, c и d равны 8, 6, 6 и 6 соответственно.

Ответ: 8, 6, 6, 6.