Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Нахождение катетов прямоугольного треугольника:

Из условия нам известно, что гипотенуза равна 13 см, а один катет больше другого на 7 см. Обозначим меньший катет как x. Тогда больший катет будет x + 7 см.

1. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
2. Записываем уравнение: x² + (x + 7)² = 13².
3. Раскроем скобки: x² + (x² + 14x + 49) = 169.
4. Соберем все слагаемые: 2x² + 14x + 49 = 169.
5. Переносим 169 на левую сторону: 2x² + 14x + 49 - 169 = 0.
6. Упрощаем: 2x² + 14x - 120 = 0.
7. Делим все на 2: x² + 7x - 60 = 0.
8. Теперь находим корни уравнения с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 7² - 4*1*(-60) = 49 + 240 = 289.
9. Корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a = (-7 ± 17) / 2.
10. Находим два значения: x₁ = 5 и x₂ = -12. Так как катет не может быть отрицательным, берем x = 5 см.
11. Следовательно, больший катет: x + 7 = 5 + 7 = 12 см.

Таким образом, катеты равны 5 см и 12 см.

2. Определение сторон прямоугольника:

Дано, что длина больше ширины на 4 см, а площадь равна 96 см². Обозначим ширину как y. Тогда длина будет y + 4 см.

1. Записываем формулу для площади: длина * ширина = 96.
2. Подставляем значения: (y + 4) * y = 96.
3. Раскрываем скобки: y² + 4y - 96 = 0.
4. Находим дискриминант: D = 4² - 4*1*(-96) = 16 + 384 = 400.
5. Находим корни: y = (-4 ± √400) / 2 = (-4 ± 20) / 2.
6. Вычисляем два значения: y₁ = 8 и y₂ = -12. Берем положительное значение: y = 8 см.
7. Теперь находим длину: длина = y + 4 = 8 + 4 = 12 см.

Стороны прямоугольника равны 8 см и 12 см.

3. Нахождение сторон прямоугольника с заданной площадью и периметром:

Дано, что площадь равна 3 дм², а периметр - 8 дм. Обозначим ширину как a, а длину как b.

1. Известно, что площадь: a * b = 3.
2. Периметр: 2(a + b) = 8, следовательно, a + b = 4.
3. Теперь выразим b через a: b = 4 - a.
4. Подставим b в уравнение площади: a * (4 - a) = 3.
5. Раскроем скобки: 4a - a² = 3.
6. Переносим все на одну сторону: a² - 4a + 3 = 0.
7. Находим дискриминант: D = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.
8. Находим корни: a = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2.
9. Корни: a₁ = 3 и a₂ = 1. Берем положительное значение: a = 1 дм.
10. Теперь находим b: b = 4 - 1 = 3 дм.

Стороны прямоугольника равны 1 дм и 3 дм.

Таким образом, мы нашли все необходимые стороны для каждой из задач.