Как найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + 9/x на отрезке [1; 4]?

Алгебра 8 класс Оптимизация функций Наибольшее значение функции наименьшее значение функции функция f(x) отрезок [1; 4] алгебра 8 класс Новый

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x + 9/x на отрезке [1; 4], следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции:

Сначала найдем производную функции f(x). Для этого используем правило дифференцирования:

• Производная от x равна 1.
• Производная от 9/x равна -9/x^2.

Таким образом, производная f'(x) будет:

f'(x) = 1 - 9/x^2.

2. Найдем критические точки:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

1 - 9/x^2 = 0.

Решим это уравнение:

• 9/x^2 = 1.
• 9 = x^2.
• x = 3 (так как x должен быть положительным, мы берем только положительное значение).

3. Определим значения функции в критической точке и на границах отрезка:

Теперь нам нужно найти значения функции f(x) в критической точке x = 3 и на границах отрезка [1; 4]:

• f(1) = 1 + 9/1 = 1 + 9 = 10.
• f(3) = 3 + 9/3 = 3 + 3 = 6.
• f(4) = 4 + 9/4 = 4 + 2.25 = 6.25.

4. Сравним полученные значения:

Теперь сравним значения функции:

• f(1) = 10,
• f(3) = 6,
• f(4) = 6.25.

5. Определим наибольшее и наименьшее значения:

Наибольшее значение на отрезке [1; 4] равно 10 (при x = 1), а наименьшее значение равно 6 (при x = 3).

Ответ: Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [1; 4] равно 10, а наименьшее значение равно 6.