Как найти решение для системы неравенств: 3x^2 + 11x + 5 < x^2 и 9x^2 + 14x - 3 < 4x^2?

Алгебра 8 класс Системы неравенств система неравенств решение неравенств алгебра 8 класс 3x^2 + 11x + 5 9x^2 + 14x - 3 методы решения неравенств Новый

Чтобы решить систему неравенств, давайте начнем с каждого из неравенств по отдельности.

Первое неравенство: 3x^2 + 11x + 5 < x^2

1. Переносим x^2 влево: 3x^2 - x^2 + 11x + 5 < 0.
2. Упрощаем: 2x^2 + 11x + 5 < 0.
3. Теперь нам нужно решить неравенство 2x^2 + 11x + 5 < 0. Для этого найдем корни уравнения 2x^2 + 11x + 5 = 0.
4. Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 * 2 * 5 = 121 - 40 = 81.
5. Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).
6. Подставляем значения: x1 = (-11 + 9) / 4 = -0.5 и x2 = (-11 - 9) / 4 = -5.
7. Теперь у нас есть корни -5 и -0.5. Мы можем разбить числовую прямую на три интервала: (-∞, -5), (-5, -0.5) и (-0.5, +∞).
8. Проверяем знак на каждом интервале, подставляя тестовые значения:
• Для интервала (-∞, -5), например, x = -6: 2(-6)^2 + 11(-6) + 5 = 72 - 66 + 5 = 11 (положительное).
• Для интервала (-5, -0.5), например, x = -1: 2(-1)^2 + 11(-1) + 5 = 2 - 11 + 5 = -4 (отрицательное).
• Для интервала (-0.5, +∞), например, x = 0: 2(0)^2 + 11(0) + 5 = 5 (положительное).
9. Таким образом, неравенство 2x^2 + 11x + 5 < 0 выполняется на интервале (-5, -0.5).

Второе неравенство: 9x^2 + 14x - 3 < 4x^2

1. Переносим 4x^2 влево: 9x^2 - 4x^2 + 14x - 3 < 0.
2. Упрощаем: 5x^2 + 14x - 3 < 0.
3. Теперь решим неравенство 5x^2 + 14x - 3 < 0. Находим корни уравнения 5x^2 + 14x - 3 = 0.
4. Считаем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 5 * (-3) = 196 + 60 = 256.
5. Корни уравнения: x1 = (-14 + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-14 - sqrt(D)) / (2a).
6. Подставляем значения: x1 = (-14 + 16) / 10 = 0.2 и x2 = (-14 - 16) / 10 = -3.
7. Теперь у нас есть корни -3 и 0.2. Разбиваем числовую прямую на три интервала: (-∞, -3), (-3, 0.2) и (0.2, +∞).
8. Проверяем знак на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, -3), например, x = -4: 5(-4)^2 + 14(-4) - 3 = 80 - 56 - 3 = 21 (положительное).
• Для интервала (-3, 0.2), например, x = -1: 5(-1)^2 + 14(-1) - 3 = 5 - 14 - 3 = -12 (отрицательное).
• Для интервала (0.2, +∞), например, x = 1: 5(1)^2 + 14(1) - 3 = 5 + 14 - 3 = 16 (положительное).
9. Таким образом, неравенство 5x^2 + 14x - 3 < 0 выполняется на интервале (-3, 0.2).

Объединяем результаты:

Первое неравенство выполняется на интервале (-5, -0.5), а второе - на интервале (-3, 0.2).

Теперь находим пересечение этих интервалов:

• (-5, -0.5) и (-3, 0.2) пересекаются на интервале (-3, -0.5).

Ответ: Решение системы неравенств: x ∈ (-3, -0.5).