Как найти решение уравнения log2(x-2) + log2(x-3) = 1?

Алгебра 8 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы алгебра 8 класс log2 x-2 x-3 математические задачи уравнения с логарифмами Новый

Чтобы решить уравнение log2(x-2) + log2(x-3) = 1, мы можем использовать свойства логарифмов. Давайте разберем шаги решения подробно.

1. Сначала применим свойство логарифмов, которое гласит, что log(a) + log(b) = log(a*b). Это позволит нам объединить левую часть уравнения:

   log2((x-2)*(x-3)) = 1

2. Теперь мы можем избавиться от логарифма, используя определение логарифма. Если log2(A) = B, то A = 2^B. В нашем случае это будет:

   (x-2)*(x-3) = 2^1

   То есть:

   (x-2)*(x-3) = 2

3. Теперь раскроем скобки:

   x^2 - 3x - 2x + 6 = 2

   Это упрощается до:

   x^2 - 5x + 6 = 2

4. Переносим 2 на левую сторону уравнения:

   x^2 - 5x + 6 - 2 = 0

   Упрощаем:

   x^2 - 5x + 4 = 0

5. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

   Где a = 1, b = -5, c = 4. Подставляем значения:

   x = (5 ± √((-5)² - 4*1*4)) / (2*1)

   x = (5 ± √(25 - 16)) / 2

   x = (5 ± √9) / 2

   x = (5 ± 3) / 2

6. Теперь находим два возможных значения для x:

   • x1 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
   • x2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1

7. Однако, нам нужно проверить, подходят ли найденные значения для исходного уравнения, так как логарифмы определены только для положительных аргументов:

   • Для x = 4: log2(4-2) + log2(4-3) = log2(2) + log2(1) = 1 + 0 = 1 (подходит)
   • Для x = 1: log2(1-2) + log2(1-3) = log2(-1) + log2(-2) (не подходит, так как логарифм отрицательного числа не определен)

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 4.