Чтобы найти соотношение $A: B: C$, мы можем использовать известные соотношения $A: B = 3:2$ и $B: C = 5:6$. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

1. Запишем известные соотношения:
   • Сначала запишем, что $A: B = 3:2$. Это означает, что если $B = 2k$, то $A = 3k$ для некоторого числа $k$.
   • Теперь запишем второе соотношение $B: C = 5:6$. Это означает, что если $B = 5m$, то $C = 6m$ для некоторого числа $m$.
2. Сравним значения $B$:
   • Из первого соотношения мы имеем $B = 2k$.
   • Из второго соотношения мы имеем $B = 5m$.
   • Теперь мы можем приравнять $2k$ и $5m$: 2k = 5m.
3. Выразим $k$ и $m$ через одно общее значение:
   • Из уравнения $2k = 5m$ выразим $k$: $k = (5/2)m$.
   • Подставим это значение $k$ в выражения для $A$ и $B$:
   • Тогда $A = 3k = 3*(5/2)m = (15/2)m$.
   • Теперь у нас есть: $A = (15/2)m$, $B = 5m$, $C = 6m$.
4. Теперь найдем $A: B: C$:
   • Подставим найденные значения в одно соотношение: $A: B: C = (15/2)m : 5m : 6m$.
   • Упростим это соотношение, деля каждую часть на $m$:
   • Получаем: $A: B: C = (15/2) : 5 : 6$.
   • Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим все части на 2:
   • Тогда $A: B: C = 15 : 10 : 12$.
5. Упростим полученное соотношение:
   • Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 15, 10 и 12, который равен 1.
   • Значит, соотношение уже в простейшей форме: $A: B: C = 15: 10: 12$.

Таким образом, мы нашли соотношение $A: B: C = 15: 10: 12$.