Как найти второй катет и гипотенузу прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 2√5 см, а периметр составляет 10 + 2√5 см?

Алгебра 8 класс Прямоугольные треугольники второй катет гипотенуза прямоугольный треугольник катет периметр алгебра 8 класс задачи по алгебре Новый

Для решения задачи нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и формулами для периметра. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Зададим обозначения:

• Обозначим один катет как a = 2√5 см.
• Обозначим второй катет как b.
• Обозначим гипотенузу как c.

2. Формула периметра прямоугольного треугольника:

Периметр P прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон:

P = a + b + c.

В нашей задаче периметр равен 10 + 2√5 см. Подставим известные значения:

10 + 2√5 = 2√5 + b + c.

3. Упростим уравнение:

Теперь вычтем 2√5 из обеих сторон:

10 = b + c.

4. Найдем связь между катетами и гипотенузой:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется следующее соотношение:

c² = a² + b².

Подставим значение a:

c² = (2√5)² + b².

Это упрощается до:

c² = 4 * 5 + b² = 20 + b².

5. Подставим выражение для c из уравнения периметра:

Из уравнения 10 = b + c выразим c:

c = 10 - b.

Теперь подставим это значение в уравнение Пифагора:

(10 - b)² = 20 + b².

6. Раскроем скобки и упростим уравнение:

100 - 20b + b² = 20 + b².

Теперь уберем b² с обеих сторон:

100 - 20b = 20.

7. Переносим 20 на левую сторону:

100 - 20 = 20b.

80 = 20b.

8. Найдем b:

b = 80 / 20 = 4 см.

9. Найдем c:

Теперь подставим значение b в уравнение для c:

c = 10 - b = 10 - 4 = 6 см.

10. Ответ:

Второй катет равен 4 см, а гипотенуза равна 6 см.