Как разложить на множители следующие выражения:

1. 2x^2 + 24xy + 72y^2
2. -8a^5 + 8a^3 - 2a
3. 5a^3 - 4b^6

Алгебра 8 класс Разложение на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения для разложения примеры разложения учебник алгебры Новый

Разложение на множители – это важный навык в алгебре, который позволяет упростить выражения и решить уравнения. Давайте разберем каждое из заданных выражений по отдельности.

1. Разложим выражение 2x^2 + 24xy + 72y^2:

• Сначала найдем общий множитель для всех членов. В данном случае это 2.
• Вынесем 2 за скобки:
• Получаем: 2(x^2 + 12xy + 36y^2).
• Теперь разложим квадратный трехчлен x^2 + 12xy + 36y^2. Мы ищем два числа, произведение которых равно 36 (коэффициент при y^2), а сумма равна 12 (коэффициент при xy).
• Эти числа – 6 и 6. Следовательно, мы можем записать:
• x^2 + 12xy + 36y^2 = (x + 6y)(x + 6y) = (x + 6y)^2.
• Таким образом, окончательно получаем: 2(x + 6y)^2.

2. Разложим выражение -8a^5 + 8a^3 - 2a:

• Сначала найдем общий множитель. Здесь это -2a:
• Вынесем -2a за скобки:
• Получаем: -2a(4a^4 - 4a^2 + 1).
• Теперь разложим квадратный трехчлен 4a^4 - 4a^2 + 1. Это можно сделать, заметив, что это полный квадрат:
• 4a^4 - 4a^2 + 1 = (2a^2 - 1)^2.
• Таким образом, окончательно получаем: -2a(2a^2 - 1)^2.

3. Разложим выражение 5a^3 - 4b^6:

• Это выражение является разностью кубов и квадратов. Мы можем использовать формулу разности квадратов:
• 5a^3 - 4b^6 = (√5a)^3 - (2b^2)^3.
• Применим формулу разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2):
• Получаем: (√5a - 2b^2)((√5a)^2 + (√5a)(2b^2) + (2b^2)^2).
• Упрощая, получаем: (√5a - 2b^2)(5a^2 + 2√5ab^2 + 4b^4).

Таким образом, мы разложили все три выражения на множители:

• 1. 2(x + 6y)^2
• 2. -2a(2a^2 - 1)^2
• 3. (√5a - 2b^2)(5a^2 + 2√5ab^2 + 4b^4)