Как решить рациональное неравенство (x^2-2x-3)(4-x)≥0? Какие из следующих вариантов ответов являются правильными:

• x ∈ (–∞; –1] ∪ [3; 4]
• –1 ≤ x ≤ 3 и x ≥ 4
• x ∈ [–1; 3] ∪ [4; +∞)
• x ≤ –1 и 3 ≤ x ≤ 4
• x ∈ (–∞; –1) ∪ (3; 4)
• –1 < x < 3 и x > 4

Алгебра 8 класс Рациональные неравенства рациональное неравенство решение неравенства алгебра 8 класс правильные ответы методы решения интервал решения график неравенства Новый

Чтобы решить неравенство (x^2-2x-3)(4-x)≥0, начнем с того, что необходимо найти нули каждого множителя. Это поможет нам определить, в каких интервалах неравенство будет выполняться.

1. Найдем нули первого множителя x^2 - 2x - 3:

• Решим уравнение x^2 - 2x - 3 = 0.
• Используем формулу для решения квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.
• Подставляем значения: x = (2 ± √((-2)^2 - 4*1*(-3))) / (2*1) = (2 ± √(4 + 12)) / 2 = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
• Получаем два корня: x = (2 + 4) / 2 = 3 и x = (2 - 4) / 2 = -1.

2. Теперь найдем ноль второго множителя 4 - x:

• Решим уравнение 4 - x = 0, откуда x = 4.

3. Теперь мы имеем три ключевых значения: -1, 3 и 4. Эти значения разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞; -1)
• (-1; 3)
• (3; 4)
• (4; +∞)

4. Теперь проверим знак выражения (x^2 - 2x - 3)(4 - x) на каждом из этих интервалов. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала:

• Для интервала (-∞; -1), например, x = -2:
• (-2^2 - 2*(-2) - 3)(4 - (-2)) = (4 + 4 - 3)(6) = (5)(6) > 0.
• Для интервала (-1; 3), например, x = 0:
• ((0)^2 - 2*(0) - 3)(4 - 0) = (-3)(4) < 0.
• Для интервала (3; 4), например, x = 3.5:
• ((3.5)^2 - 2*(3.5) - 3)(4 - 3.5) = (12.25 - 7 - 3)(0.5) = (2.25)(0.5) > 0.
• Для интервала (4; +∞), например, x = 5:
• ((5)^2 - 2*(5) - 3)(4 - 5) = (25 - 10 - 3)(-1) = (12)(-1) < 0.

5. Теперь мы можем подвести итог:

• На интервале (-∞; -1) выражение положительно.
• На интервале (-1; 3) выражение отрицательно.
• На интервале (3; 4) выражение положительно.
• На интервале (4; +∞) выражение отрицательно.

6. Неравенство (x^2 - 2x - 3)(4 - x) ≥ 0 выполняется в интервалах, где выражение положительно или равно нулю. Это происходит:

• На интервале (-∞; -1], так как -1 - корень первого множителя.
• На интервале [3; 4], так как 3 - корень первого множителя и 4 - корень второго множителя.

Таким образом, ответ на неравенство будет:

x ∈ (-∞; -1] ∪ [3; 4].

Теперь проверим предложенные варианты:

• x ∈ (–∞; –1] ∪ [3; 4] - правильный ответ.
• –1 ≤ x ≤ 3 и x ≥ 4 - неправильный ответ.
• x ∈ [–1; 3] ∪ [4; +∞) - неправильный ответ.
• x ≤ –1 и 3 ≤ x ≤ 4 - неправильный ответ.
• x ∈ (–∞; –1) ∪ (3; 4) - неправильный ответ.
• –1 < x < 3 и x > 4 - неправильный ответ.

Таким образом, правильный ответ - x ∈ (–∞; –1] ∪ [3; 4].