Чтобы решить уравнение х^3 - 19x^2 + 78x + 108 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и затем применить деление многочленов.

Шаги решения:

1. Поиск целых корней: Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая гласит, что возможные целые корни уравнения могут быть делителями свободного члена (в данном случае 108).
2. Перечислим делители числа 108:
   • ±1
   • ±2
   • ±3
   • ±4
   • ±6
   • ±9
   • ±12
   • ±18
   • ±27
   • ±36
   • ±54
   • ±108
3. Подбор корней: Подставим некоторые из этих значений в уравнение, чтобы найти хотя бы один корень. Начнем с простых чисел, например, 1, 2, 3 и т.д.
4. Проверка корней:
   • Подставим x = 1:

     1^3 - 19*1^2 + 78*1 + 108 = 1 - 19 + 78 + 108 = 168 (не корень)

   • Подставим x = 2:

     2^3 - 19*2^2 + 78*2 + 108 = 8 - 76 + 156 + 108 = 196 (не корень)

   • Подставим x = 3:

     3^3 - 19*3^2 + 78*3 + 108 = 27 - 171 + 234 + 108 = 198 (не корень)

   • Подставим x = 6:

     6^3 - 19*6^2 + 78*6 + 108 = 216 - 684 + 468 + 108 = 108 (не корень)

   • Подставим x = 9:

     9^3 - 19*9^2 + 78*9 + 108 = 729 - 1539 + 702 + 108 = 0 (корень)

5. Деление многочлена: Теперь, когда мы нашли корень x = 9, мы можем использовать его для деления многочлена. Мы можем выполнить деление многочлена x^3 - 19x^2 + 78x + 108 на (x - 9).
6. Результат деления: После деления мы получим квадратное уравнение. Используем деление в столбик или метод синтетического деления, чтобы найти коэффициенты. В результате мы получим уравнение вида x^2 - 10x - 12 = 0.
7. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 10x - 12 = 0 с помощью формулы:

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   где a = 1, b = -10, c = -12.

   Подставим значения: D = (-10)^2 - 4*1*(-12) = 100 + 48 = 148.

   Теперь находим корни: x1 = (10 + √148) / 2 и x2 = (10 - √148) / 2.

8. Запись окончательных решений: Таким образом, у нас есть один корень x = 9 и два корня из квадратного уравнения, которые можно вычислить. Это и будут все решения уравнения.

Итак, уравнение x^3 - 19x^2 + 78x + 108 = 0 имеет три корня: x = 9 и два корня из квадратного уравнения.