Как решить уравнение: х^3 + 2х^2 - х - 2 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения третьей степени решение уравнения алгебра 8 класс х^3 + 2х^2 - х - 2 = 0 методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения х^3 + 2х^2 - х - 2 = 0 мы можем воспользоваться методом подбора корней и разложением многочлена на множители. Давайте рассмотрим шаги более подробно.

Шаг 1: Подбор рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни можно получить из делителей свободного члена (в данном случае -2) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 1).

• Делители -2: ±1, ±2
• Делители 1: ±1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2.

Шаг 2: Подстановка возможных корней

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, является ли одно из них корнем.

• Для x = 1:

1^3 + 2*1^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0. Это корень.

• Для x = -1:

(-1)^3 + 2*(-1)^2 - (-1) - 2 = -1 + 2 + 1 - 2 = 0. Это корень.

• Для x = 2:

2^3 + 2*2^2 - 2 - 2 = 8 + 8 - 2 - 2 = 12. Не корень.

• Для x = -2:

(-2)^3 + 2*(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0. Это корень.

Шаг 3: Разложение на множители

Теперь, когда мы нашли корни x = 1, x = -1 и x = -2, мы можем разложить многочлен на множители. Мы можем начать с корня x = 1:

Разделим многочлен на (x - 1) с помощью деления многочленов или synthetic division:

(x^3 + 2x^2 - x - 2) / (x - 1) = x^2 + 3x + 2

Теперь у нас есть два множителя: (x - 1) и (x^2 + 3x + 2).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение x^2 + 3x + 2 = 0. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения или разложить его на множители:

x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0.

Таким образом, мы получаем еще два корня: x = -1 и x = -2.

Шаг 5: Запись всех корней

Теперь мы можем записать все найденные корни уравнения:

• x = 1
• x = -1
• x = -2

Таким образом, уравнение х^3 + 2х^2 - х - 2 = 0 имеет три корня: 1, -1 и -2.