Как решить уравнение:

|x-2|*(x+2)^2=4x-8?

Алгебра 8 класс Уравнения с модулями и квадратами уравнение алгебра решение уравнения модуль квадрат 8 класс Новый

Чтобы решить уравнение |x-2|*(x+2)^2=4x-8, начнем с анализа его компонентов и преобразования.

1. Переносим все элементы уравнения в одну сторону:

|x-2|*(x+2)^2 - 4x + 8 = 0

2. Учитываем, что абсолютное значение |x-2| может принимать два значения в зависимости от того, больше ли x, чем 2, или меньше. Поэтому мы рассмотрим два случая:

• Случай 1: x >= 2. В этом случае |x-2| = x-2.
• Случай 2: x < 2. В этом случае |x-2| = -(x-2) = 2-x.

Теперь решим каждое из случаев по отдельности.

Случай 1: x >= 2

1. Подставляем |x-2| = x-2 в уравнение:
2. (x-2)*(x+2)^2 - 4x + 8 = 0
3. Раскроем скобки:
4. (x-2)(x^2 + 4x + 4) - 4x + 8 = 0
5. Упрощаем:
6. x^3 + 4x^2 + 4x - 2x^2 - 8x - 8 - 4x + 8 = 0
7. Собираем подобные слагаемые:
8. x^3 + 2x^2 - 8x = 0
9. Вынесем x за скобки:
10. x(x^2 + 2x - 8) = 0
11. Решаем уравнение x(x^2 + 2x - 8) = 0:
12. Первый корень: x = 0. Но x должен быть >= 2, поэтому этот корень не подходит.
13. Второе уравнение: x^2 + 2x - 8 = 0. Используем дискриминант:
14. D = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.
15. Корни: x = (-2 ± √36) / 2 = (-2 ± 6) / 2.
16. Корни: x1 = 2, x2 = -4. Корень x2 не подходит, так как x >= 2.

Итак, в первом случае мы получили корень x = 2.

Случай 2: x < 2

1. Подставляем |x-2| = 2-x в уравнение:
2. (2-x)*(x+2)^2 - 4x + 8 = 0
3. Раскроем скобки:
4. (2-x)(x^2 + 4x + 4) - 4x + 8 = 0
5. Упрощаем:
6. 2x^2 + 8x + 8 - x^3 - 4x^2 - 4x - 4x + 8 = 0
7. Собираем подобные слагаемые:
8. -x^3 - 2x^2 + 8x + 16 = 0.
9. Умножим на -1 для удобства:
10. x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0.

Теперь нужно найти корни этого кубического уравнения. Можно попробовать подставить некоторые значения:

• Пробуем x = -2:
• (-2)^3 + 2*(-2)^2 - 8*(-2) - 16 = -8 + 8 + 16 - 16 = 0.

Значит, x = -2 - это корень. Теперь делим полином на (x + 2):

1. С помощью деления многочленов находим остальные корни.

После деления получаем:

x^2 - 8 = 0.

Корни: x = ±√8 = ±2√2.

Теперь проверим, какие из них подходят под условие x < 2:

• Корень x = -2 подходит.
• Корень x = -2√2 также подходит, так как -2√2 < 2.

Таким образом, мы нашли все корни уравнения:

• x = 2 (из первого случая);
• x = -2 и x = -2√2 (из второго случая).

Ответ: x = 2, x = -2, x = -2√2.