Чтобы решить уравнение y^3 - 12y^2 + 48y - 64 = 0, мы можем использовать метод подбора корней, а также разложение на множители. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Поиск рациональных корней:

   По теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни уравнения могут быть делителями свободного члена (в данном случае -64) и делителями ведущего коэффициента (в данном случае 1). Это значит, что возможные корни – это делители числа -64:

   • ±1
   • ±2
   • ±4
   • ±8
   • ±16
   • ±32
   • ±64
2. Подбор корней:

   Теперь мы будем подставлять эти значения в уравнение и проверять, является ли результат равным нулю. Начнем с 4:

   • Подставляем y = 4:

   4^3 - 12 * 4^2 + 48 * 4 - 64 = 64 - 192 + 192 - 64 = 0

   Таким образом, y = 4 является корнем уравнения.

3. Разложение уравнения:

   Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разложить исходное уравнение на множители, используя корень y = 4. Мы можем записать уравнение в виде:

   (y - 4)(y^2 + ay + b) = 0

   Где a и b - это коэффициенты, которые нам нужно найти.

   Чтобы найти a и b, мы можем использовать деление многочленов или сравнение коэффициентов.

   После деления многочлена y^3 - 12y^2 + 48y - 64 на (y - 4), мы получаем:

   y^2 - 8y + 16

4. Решение квадратного уравнения:

   Теперь у нас есть следующее уравнение:

   y^2 - 8y + 16 = 0

   Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу корней:

   y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   где a = 1, b = -8, c = 16.

   Подставляем значения:

   y = (8 ± √((-8)^2 - 4 * 1 * 16)) / (2 * 1)

   y = (8 ± √(64 - 64)) / 2

   y = (8 ± √0) / 2

   y = 8 / 2 = 4

   Таким образом, у нас два одинаковых корня y = 4.

5. Итог:

   Теперь мы можем записать все корни уравнения:

   y = 4 (тройной корень).

Таким образом, уравнение y^3 - 12y^2 + 48y - 64 = 0 имеет один корень, который равен 4, и он имеет тройную кратность.