Как упростить выражение (a-1)(a^2+1)(a+1)(a^4-a^2+1)(a^6-1)?

Алгебра 8 класс Упрощение алгебраических выражений Упрощение выражения алгебра 8 класс математические выражения факторизация алгебраические множители решение уравнений свойства чисел школьная математика Новый

Чтобы упростить выражение (a-1)(a^2+1)(a+1)(a^4-a^2+1)(a^6-1), давайте разберём его по частям и воспользуемся свойствами алгебры.

Шаг 1: Упрощение (a-1)(a+1)

• Сначала упростим произведение (a-1)(a+1). Это выражение является разностью квадратов:
• (a-1)(a+1) = a^2 - 1.

Шаг 2: Упрощение (a^6-1)

• Теперь рассмотрим (a^6 - 1). Это также разность квадратов, так как a^6 - 1 = (a^3)^2 - 1^2:
• (a^6 - 1) = (a^3 - 1)(a^3 + 1).
• Далее, (a^3 - 1) также можно разложить, используя разность кубов:
• (a^3 - 1) = (a - 1)(a^2 + a + 1).

Шаг 3: Упрощение (a^3 + 1)

• (a^3 + 1) можно разложить на (a + 1)(a^2 - a + 1) по формуле суммы кубов:
• (a^3 + 1) = (a + 1)(a^2 - a + 1).

Шаг 4: Подставляем упрощения обратно

• Теперь подставим все упрощения обратно в исходное выражение:
• (a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1).

Шаг 5: Упрощение (a^2 - 1)(a^2 + 1)

• Мы уже знаем, что (a^2 - 1) = (a - 1)(a + 1), и мы можем объединить это с (a^2 + 1):
• (a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1).

Шаг 6: Итоговое упрощение

• Теперь у нас есть:
• (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)(a - 1)(a^2 + a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1).
• Соберем все множители:
• (a - 1)^2(a + 1)^2(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1).

Таким образом, окончательно упрощенное выражение будет:

(a - 1)^2(a + 1)^2(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1).