Как вычислить площадь прямоугольного треугольника, если один из катетов меньше гипотенузы на 1 см, а гипотенуза больше другого катета на 7 см?

Алгебра 8 класс Площадь треугольника вычислить площадь прямоугольный треугольник катеты гипотенуза алгебра 8 класс Новый

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. В данном случае у нас есть условия, которые связывают катеты и гипотенузу. Давайте обозначим:

• a - длина первого катета,
• b - длина второго катета,
• c - длина гипотенузы.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения:

• Первый катет меньше гипотенузы на 1 см: a = c - 1,
• Гипотенуза больше второго катета на 7 см: c = b + 7.

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую. Подставим значение c из второго уравнения в первое:

1. Подставим c в первое уравнение: a = (b + 7) - 1.
2. Упростим: a = b + 6.

Теперь у нас есть два выражения:

• a = b + 6,
• c = b + 7.

Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a² + b² = c²

Подставим выражения для a и c:

1. (b + 6)² + b² = (b + 7)².

Теперь раскроем скобки:

1. (b² + 12b + 36) + b² = (b² + 14b + 49).

Соберем все слагаемые:

1. 2b² + 12b + 36 = b² + 14b + 49.
2. Переносим все на одну сторону: 2b² + 12b + 36 - b² - 14b - 49 = 0.
3. Упростим: b² - 2b - 13 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*(-13) = 4 + 52 = 56.
2. Корни уравнения: b = (2 ± √56)/2 = 1 ± √14.

Так как длина катета должна быть положительной, мы берем только положительное значение:

b = 1 + √14.

Теперь можем найти a и c:

1. a = b + 6 = (1 + √14) + 6 = 7 + √14.
2. c = b + 7 = (1 + √14) + 7 = 8 + √14.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, используем формулу:

Площадь = (1/2) a b.

Подставим значения:

Площадь = (1/2) (7 + √14) (1 + √14).

Это выражение можно упростить, но для точного значения можно использовать числовые приближения для √14, чтобы получить площадь в см².

Таким образом, мы нашли все необходимые длины и можем вычислить площадь прямоугольного треугольника.