Чтобы решить неравенство (x^2 + 3x - 10) / (x - 3) < 0, давайте сначала проанализируем числитель и знаменатель.

Числитель x^2 + 3x - 10 нужно приравнять к нулю:

x^2 + 3x - 10 = 0

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 3, c = -10.

Подставим значения:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

Теперь найдем корни:

x1 = (-3 + √49) / 2 * 1 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2.

x2 = (-3 - √49) / 2 * 1 = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5.

Теперь найдем, при каком x знаменатель равен нулю:

x - 3 = 0

x = 3.

Теперь у нас есть три ключевых значения: -5, 2 и 3. Эти значения делят числовую ось на четыре интервала:

• (-∞; -5)
• (-5; 2)
• (2; 3)
• (3; +∞)

Теперь проверим знак дроби на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞; -5), например, x = -6:

(-6^2 + 3*(-6) - 10) / (-6 - 3) = (36 - 18 - 10) / (-9) = 8 / (-9) < 0.

2. Для интервала (-5; 2), например, x = 0:

(0^2 + 3*0 - 10) / (0 - 3) = (-10) / (-3) > 0.

3. Для интервала (2; 3), например, x = 2.5:

((2.5)^2 + 3*(2.5) - 10) / (2.5 - 3) = (6.25 + 7.5 - 10) / (-0.5) = 3.75 / (-0.5) < 0.

4. Для интервала (3; +∞), например, x = 4:

((4)^2 + 3*(4) - 10) / (4 - 3) = (16 + 12 - 10) / 1 = 18 / 1 > 0.

Таким образом, дробь меньше нуля на интервалах:

• (-∞; -5)
• (2; 3)

Наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству (x^2 + 3x - 10) / (x - 3) < 0, находится в интервале (2; 3). Это число 2, так как 3 не включается в решение (знаменатель равен нулю).

Ответ: 2.