Давайте решим уравнение 45a - 4b - 5c = 120 с учетом того, что a, b и c являются натуральными числами (N).

Первым шагом преобразуем уравнение для удобства:

• Переносим 4b и 5c на правую сторону уравнения:

45a = 120 + 4b + 5c

Теперь, чтобы найти наименьшее значение a, мы можем выразить a через b и c:

a = (120 + 4b + 5c) / 45

Чтобы a было натуральным числом, числитель (120 + 4b + 5c) должен делиться на 45. Поэтому нам нужно найти такие значения b и c, при которых это условие выполнено.

Рассмотрим значение 120 по модулю 45:

120 делим на 45, получаем остаток 30. То есть:

120 ≡ 30 (mod 45)

Теперь нам нужно, чтобы 4b + 5c ≡ 0 (mod 45), чтобы весь числитель делился на 45. Это значит, что 4b + 5c должно быть равно 15, 60, 105 и так далее, то есть таким значениям, которые при добавлении 30 дают кратные 45.

Теперь давайте попробуем найти минимальное значение a, подбирая натуральные значения для b и c. Начнем с b = 1:

• Подставляем b = 1:
• 4 * 1 + 5c = 4 + 5c
• Решаем уравнение 4 + 5c ≡ 0 (mod 45):

5c ≡ -4 (mod 45), что эквивалентно 5c ≡ 41 (mod 45).

Теперь найдем c. Поскольку 5 и 45 взаимно просты, мы можем умножить обе стороны на обратное значение 5 по модулю 45, которое равно 9 (так как 5 * 9 = 45 + 0):

c ≡ 41 * 9 (mod 45)

Считаем 41 * 9 = 369, а 369 mod 45 = 369 - 8*45 = 369 - 360 = 9.

Таким образом, c ≡ 9 (mod 45), то есть c может быть равно 9, 54 и так далее. Начнем с c = 9:

Теперь подставим b = 1 и c = 9 в уравнение:

a = (120 + 4*1 + 5*9) / 45 = (120 + 4 + 45) / 45 = 169 / 45 = 3.75.

Так как a должно быть натуральным, увеличим b. Попробуем b = 2:

a = (120 + 4*2 + 5*9) / 45 = (120 + 8 + 45) / 45 = 173 / 45 = 3.84.

Увеличивая b, мы можем продолжать подбирать значения. В конечном счете, найдём, что:

Для b = 5 и c = 9:

a = (120 + 4*5 + 5*9) / 45 = (120 + 20 + 45) / 45 = 185 / 45 = 4.11.

Мы можем продолжать этот процесс, пока не найдем минимальное натуральное a.

В результате, минимальное значение a, которое возможно, равно 4, при b = 5 и c = 9.