Для решения этой задачи нам нужно понять, как образуются новые квадраты и как вычисляется сумма их площадей.

1. Начнем с первого квадрата, у которого сторона равна 1. Площадь этого квадрата вычисляется по формуле:

• Площадь = сторона * сторона = 1 * 1 = 1.

2. Теперь рассмотрим, как образуется следующий квадрат. Новый квадрат вписывается в первый, и его стороны соединяются с серединами сторон первого квадрата. Это означает, что новый квадрат будет иметь стороны, которые равны половине диагонали первого квадрата.

3. Для нахождения длины стороны нового квадрата, воспользуемся формулой для диагонали квадрата:

• Диагональ = сторона * корень(2).

Таким образом, для первого квадрата:

• Диагональ = 1 * корень(2) = корень(2).

4. Поскольку новый квадрат вписывается в первый, его сторона будет равна половине диагонали:

• Сторона второго квадрата = (корень(2)) / 2 = 1 / корень(2).

5. Теперь вычислим площадь второго квадрата:

• Площадь второго квадрата = (1 / корень(2)) * (1 / корень(2)) = 1 / 2.

6. Этот процесс продолжается, и для каждого следующего квадрата площадь будет равна половине площади предыдущего квадрата. Таким образом, площади квадратов образуют геометрическую прогрессию:

• Площадь первого квадрата = 1,
• Площадь второго квадрата = 1/2,
• Площадь третьего квадрата = 1/4,
• Площадь четвертого квадрата = 1/8,
• и так далее.

7. В общем виде, площадь n-го квадрата можно выразить как:

• Площадь n-го квадрата = 1 / (2^(n-1)).

8. Теперь найдем сумму площадей всех квадратов. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• Сумма = a / (1 - r),

где a — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии. В нашем случае:

• a = 1,
• r = 1/2.

9. Подставим значения в формулу:

• Сумма = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Ответ: Сумма площадей бесконечной последовательности квадратов, вписанных друг в друга, равна 2.