Для решения данной задачи, давайте обозначим три числа, которые образуют арифметическую прогрессию, как:

• x - первое число,
• y - второе число,
• z - третье число.

Так как числа образуют арифметическую прогрессию, мы можем записать:

• y = x + d,
• z = x + 2d,

где d - разность прогрессии.

Сумма этих чисел равна 60, поэтому мы можем записать уравнение:

x + y + z = 60.

Подставим выражения для y и z:

x + (x + d) + (x + 2d) = 60.

Упростим это уравнение:

3x + 3d = 60.

Теперь разделим обе стороны на 3:

x + d = 20.

Таким образом, мы можем выразить d через x:

d = 20 - x.

Теперь перейдем ко второму условию задачи. Если от первого числа отнять 10, от второго 8, а третье оставить без изменения, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию:

• (x - 10),
• (y - 8),
• z.

Подставим y и z:

• (x - 10),
• ((x + d) - 8),
• (x + 2d).

Упростим второе число:

(x + d - 8) = (x + (20 - x) - 8) = 12.

Таким образом, числа, которые образуют геометрическую прогрессию, выглядят так:

• (x - 10),
• 12,
• (x + 2d) = (x + 2(20 - x)) = (40 - x).

Теперь, чтобы числа образовывали геометрическую прогрессию, должно выполняться следующее условие:

(12)^2 = (x - 10)(40 - x).

Решим это уравнение:

144 = (x - 10)(40 - x).

Раскроем скобки:

144 = 40x - x^2 - 400 + 10x.

Соберем все в одно уравнение:

0 = x^2 - 50x + 544.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 * 1 * 544 = 2500 - 2176 = 324.

Корни уравнения:

x1,2 = (50 ± √324) / 2 = (50 ± 18) / 2.

Таким образом, получаем два значения:

• x1 = (68) / 2 = 34,
• x2 = (32) / 2 = 16.

Теперь подставим значение x в выражение для d:

• Если x = 34, d = 20 - 34 = -14,
• Если x = 16, d = 20 - 16 = 4.

Теперь находим y и z:

• Для x = 34: y = 34 - 14 = 20, z = 34 + 2(-14) = 6.
• Для x = 16: y = 16 + 4 = 20, z = 16 + 2(4) = 24.

Таким образом, три числа, которые образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют всем условиям задачи:

• Первый случай: 34, 20, 6.
• Второй случай: 16, 20, 24.