Давайте по очереди решим каждое из данных тригонометрических выражений.

Для нахождения значения этого выражения мы можем использовать формулу суммы синусов:

• sin A + sin B = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Здесь A = 20° и B = 40°:

• A + B = 20° + 40° = 60°
• A - B = 20° - 40° = -20°

Теперь подставим эти значения в формулу:

• sin 20° + sin 40° = 2 * sin(60°/2) * cos(-20°/2) = 2 * sin(30°) * cos(-10°)
• sin(30°) = 1/2 и cos(-10°) = cos(10°)

Таким образом, получаем:

• sin 20° + sin 40° = 2 * (1/2) * cos(10°) = cos(10°)

Используем свойство синуса: sin(-x) = -sin(x).

• sin(-65°) = -sin(65°

Тогда выражение становится:

• sin 55° + sin 65°

Применим формулу суммы синусов:

• sin 55° + sin 65° = 2 * sin((55° + 65°)/2) * cos((55° - 65°)/2)

Считаем:

• 55° + 65° = 120°
• 55° - 65° = -10°

Подставляем:

• sin 55° + sin 65° = 2 * sin(60°) * cos(-5°) = 2 * (√3/2) * cos(5°) = √3 * cos(5°)

Здесь мы можем воспользоваться тем, что sin(90° - x) = cos(x):

• sin 42° = cos(48°)

Тогда:

• cos 12° + sin 42° = cos 12° + cos 48°

Для нахождения суммы косинусов:

• cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Подставляем A = 12° и B = 48°:

• A + B = 60°
• A - B = -36°

Теперь:

• cos 12° + cos 48° = 2 * cos(30°) * cos(-18°) = 2 * (√3/2) * cos(18°) = √3 * cos(18°)

Используем свойство косинуса: cos(-x) = cos(x):

• cos(-50°) = cos(50°)

Тогда выражение становится:

• cos 50° - sin 20°

Используем свойство sin(90° - x) = cos(x):

• sin 20° = cos(70°)

Теперь:

• cos 50° - cos 70°

Для нахождения разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

Подставляем A = 50° и B = 70°:

• A + B = 120°
• A - B = -20°

Теперь:

• cos 50° - cos 70° = -2 * sin(60°) * sin(-10°) = -2 * (√3/2) * (-sin(10°)) = √3 * sin(10°)

Используем формулу разности синусов:

• sin A - sin B = 2 * cos((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

Подставляем A = 255° и B = 165°:

• A + B = 420°
• A - B = 90°

Теперь:

• sin 255° - sin 165° = 2 * cos(210°) * sin(45°) = 2 * (-√3/2) * (√2/2) = -√3 * √2/2

Используем формулу суммы косинусов:

• cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Подставляем A = 315° и B = 225°:

• A + B = 540°
• A - B = 90°

Теперь:

• cos 315° + cos 225° = 2 * cos(270°) * cos(45°) = 2 * 0 * (√2/2) = 0

Таким образом, значения выражений:

• sin 20° + sin 40° = cos(10°)
• sin 55° - sin (-65°) = √3 * cos(5°)
• cos 12° + sin 42° = √3 * cos(18°)
• cos (-50°) - sin 20° = √3 * sin(10°)
• sin 255° - sin 165° = -√3 * √2/2
• cos 315° + cos 225° = 0