Какой первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разница между четвертым и вторым членами равна 24, а сумма второго и третьего членов равна 6?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия первый член знаменатель алгебра 8 класс разница членов сумма членов Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a, а знаменатель как q. Тогда мы можем записать члены прогрессии следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: a * q
• Третий член: a * q^2
• Четвертый член: a * q^3

Теперь у нас есть две условия:

1. Разница между четвертым и вторым членами равна 24:
a * q^3 - a * q = 24
2. Сумма второго и третьего членов равна 6:
a * q + a * q^2 = 6

Теперь давайте упростим каждое из этих уравнений.

1. Первое уравнение:

a * (q^3 - q) = 24

Мы можем вынести a за скобки, но сначала давайте упростим это уравнение:

a * q (q^2 - 1) = 24

2. Второе уравнение:

a * q (1 + q) = 6

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * q (q^2 - 1) = 24
• 2) a * q (1 + q) = 6

Теперь мы можем выразить a из второго уравнения:

a = 6 / (q * (1 + q))

Подставим это значение a в первое уравнение:

(6 / (q (1 + q))) q * (q^2 - 1) = 24

Упростим уравнение:

6 * (q^2 - 1) / (1 + q) = 24

Теперь умножим обе стороны на (1 + q):

6 (q^2 - 1) = 24 (1 + q)

Раскроем скобки:

6q^2 - 6 = 24 + 24q

Переносим все в одну сторону:

6q^2 - 24q - 30 = 0

Теперь упростим это уравнение:

q^2 - 4q - 5 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 1 (-5) = 16 + 20 = 36

Теперь найдем корни:

q = (4 ± √36) / 2 q1 = (4 + 6) / 2 = 5 q2 = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь подставим значение q обратно, чтобы найти a. Начнем с q = 5:

a = 6 / (5 (1 + 5)) = 6 / (5 6) = 1 / 5

Теперь проверим, подходит ли q = -1:

a = 6 / (-1 * (1 - 1)) (это значение не подходит, так как деление на ноль не определено).

Таким образом, у нас есть:

• Первый член: 1/5
• Знаменатель: 5

Ответ: Первый член геометрической прогрессии равен 1/5, а знаменатель равен 5.