Какой радиус вписанной окружности у прямоугольного треугольника, если его периметр составляет 12 см и его стороны находятся в арифметической прогрессии?

Алгебра 8 класс Геометрия. Вписанная и описанная окружности радиус вписанной окружности прямоугольный треугольник периметр 12 см стороны в арифметической прогрессии задачи по алгебре 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, у которого стороны находятся в арифметической прогрессии. Пусть стороны треугольника обозначим как a, b и c, где c - гипотенуза. Так как стороны в арифметической прогрессии, мы можем выразить их следующим образом:

• a = x - d
• b = x
• c = x + d

Где x - среднее значение, а d - разность прогрессии. Теперь, так как это прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора у нас есть:

(x - d)² + x² = (x + d)²

Раскроем скобки:

1. (x - d)² = x² - 2xd + d²
2. (x + d)² = x² + 2xd + d²

Теперь подставим это в уравнение:

x² - 2xd + d² + x² = x² + 2xd + d²

Соберем все подобные члены:

2x² - 2xd = x² + 2xd

Переносим все на одну сторону:

x² - 4xd = 0

Факторизуем:

x(x - 4d) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 или x = 4d. Поскольку x = 0 не имеет смысла в контексте длины сторон, принимаем x = 4d.

Теперь найдем стороны треугольника:

• a = 4d - d = 3d
• b = 4d
• c = 4d + d = 5d

Теперь вычислим периметр:

P = a + b + c = 3d + 4d + 5d = 12d

По условию задачи, периметр равен 12 см, значит:

12d = 12

Отсюда находим d:

d = 1

Теперь можем найти длины сторон:

• a = 3d = 3 см
• b = 4d = 4 см
• c = 5d = 5 см

Теперь, зная стороны треугольника, можем найти радиус вписанной окружности. Формула для радиуса вписанной окружности R прямоугольного треугольника:

R = (a + b - c) / 2

Подставим наши значения:

R = (3 + 4 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1 см

Таким образом, радиус вписанной окружности у данного прямоугольного треугольника составляет 1 см.