Для решения задачи нам нужно использовать формулы для нахождения суммы геометрической прогрессии и её членов. Напомним, что в геометрической прогрессии первый член обозначается как a, а общий множитель (или знаменатель прогрессии) - как q.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

• Если q не равно 1: S_n = a * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Если q = 1: S_n = a * n

Теперь давайте решим каждую из задач по очереди.

1. Для первой прогрессии: q = 2, n = 9, S₉ = 1533

1. Подставим известные значения в формулу суммы: 1533 = a * (1 - 2⁹) / (1 - 2).
2. Упростим это уравнение: 1533 = a * (1 - 512) / (-1).
3. Это можно записать как: 1533 = a * (-511).
4. Теперь найдем a: a = 1533 / (-511) = -3.

Теперь, когда мы нашли первый член, можем найти последний член прогрессии. Последний член (a_n) вычисляется по формуле:

• a_n = a * q^n-1.

Подставим значения: a₉ = -3 * 2⁸ = -3 * 256 = -768.

Ответ для первой прогрессии: первый член a = -3, последний член a₉ = -768.

2. Для второй прогрессии: q = 1/2, n = 5, S₅ = 3 7/8

Сначала преобразуем 3 7/8 в неправильную дробь: 3 7/8 = 31/8.

1. Подставим известные значения в формулу суммы: 31/8 = a * (1 - (1/2)⁵) / (1 - 1/2).
2. Упростим это уравнение: 31/8 = a * (1 - 1/32) / (1/2).
3. Это можно записать как: 31/8 = a * (31/32) / (1/2).
4. Умножаем обе стороны на 2: 31/4 = a * (31/32).
5. Теперь найдем a: a = (31/4) * (32/31) = 8.

Теперь найдем последний член прогрессии:

• a_n = a * q^n-1.

Подставим значения: a₅ = 8 * (1/2)⁴ = 8 * 1/16 = 0.5.

Ответ для второй прогрессии: первый член a = 8, последний член a₅ = 0.5.