Чтобы показать, что три числа a, a + m, a + n не могут быть одновременно простыми, начнем с анализа свойств чисел, делящихся на 3.

Пусть a > 3 — это простое число. Мы знаем, что любое целое число при делении на 3 может дать один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Рассмотрим, как может выглядеть a по модулю 3:

• Если a делится на 3 (то есть a ≡ 0 (mod 3)), то a не является простым числом, так как единственным простым числом, которое делится на 3, является 3, а мы знаем, что a > 3.
• Если a ≡ 1 (mod 3), то мы можем рассмотреть следующие числа:
• a + m, где m ≡ 1 (mod 3), тогда a + m ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3).
• a + n, где n ≡ 2 (mod 3), тогда a + n ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3), что означает, что a + n делится на 3.
• Если a ≡ 2 (mod 3), то:
• a + m, где m ≡ 1 (mod 3), тогда a + m ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod 3), что означает, что a + m делится на 3.
• a + n, где n ≡ 2 (mod 3), тогда a + n ≡ 2 + 2 ≡ 1 (mod 3).

Теперь проанализируем оба случая:

1. Если a ≡ 1 (mod 3), то a + n делится на 3, и, следовательно, не может быть простым числом.
2. Если a ≡ 2 (mod 3), то a + m делится на 3, и, следовательно, не может быть простым числом.

Таким образом, в любом случае одно из трех чисел (a, a + m, a + n) будет делиться на 3 и, следовательно, не может быть простым числом, если только это не число 3, которое не подходит под условие a > 3.

Таким образом, мы пришли к выводу, что три числа a, a + m, a + n не могут быть одновременно простыми, если a > 3 и m, n при делении на 3 дают остатки 1 и 2 соответственно.