Разложите на множители следующие выражения:

1. x в кубе + 6x в квадрате + 11x + 6;
2. x в четвертой степени + x в кубе + 6x в квадрате + 5x + 5.

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения примеры x в кубе x в четвертой степени математические задачи Новый

Давайте разложим на множители два указанных вами выражения по шагам.

1. Разложение выражения x^3 + 6x^2 + 11x + 6:

• Сначала мы можем попробовать найти корни этого кубического уравнения с помощью метода подбора. Подберем целые числа, которые могут быть корнями.
• Проверим, например, x = -1:
• x^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0. Это значит, что x = -1 является корнем.
• Теперь, зная, что x + 1 является множителем, мы можем использовать деление многочлена для нахождения остальных множителей.
• Разделим x^3 + 6x^2 + 11x + 6 на x + 1 с помощью деления многочленов:
• Результат деления будет: x^2 + 5x + 6.
• Теперь разложим x^2 + 5x + 6 на множители. Мы ищем два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна 5. Это числа 2 и 3.
• Таким образом, x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
• Теперь можем записать полное разложение:
• x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3).

2. Разложение выражения x^4 + x^3 + 6x^2 + 5x + 5:

• Для четвертого степени мы также можем попробовать найти корни. Начнем с подбора.
• Проверим x = -1:
• x^4 + (-1)^3 + 6(-1)^2 + 5(-1) + 5 = 1 - 1 + 6 - 5 + 5 = 6, не является корнем.
• Проверим x = -5:
• x^4 + (-5)^3 + 6(-5)^2 + 5(-5) + 5 = 625 - 125 + 150 - 25 + 5 = 630, не является корнем.
• Проверим x = -1:
• x = -1: 1 - 1 + 6 - 5 + 5 = 6 (не корень),
• x = 1: 1 + 1 + 6 + 5 + 5 = 18 (не корень).
• Проверим x = -1:
• x = -1: 1 - 1 + 6 - 5 + 5 = 6 (не корень),
• x = 2: 16 + 8 + 24 + 10 + 5 = 63 (не корень).
• Попробуем разложить методом группировки:
• Соберем первые два и последние три члена:
• (x^4 + x^3) + (6x^2 + 5x + 5).
• Из первого скобки вынесем x^3: x^3(x + 1) + (6x^2 + 5x + 5).
• Вторую скобку можно разложить: (6x^2 + 5x + 5) = (x + 1)(6x + 5).
• Теперь получаем: x^3(x + 1) + (x + 1)(6x + 5).
• Вынесем общий множитель (x + 1): (x + 1)(x^3 + 6x + 5).
• Теперь разложим x^3 + 6x + 5, если возможно, и продолжаем искать корни.
• В итоге получаем: (x + 1)(x^3 + 6x + 5) = (x + 1)(x^2 + 5)(x + 1).

Итак, окончательные разложения на множители:

• x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3);
• x^4 + x^3 + 6x^2 + 5x + 5 = (x + 1)(x^3 + 6x + 5).