Для решения неравенства 4x³ - x > 0 методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Перепишем неравенство:

   Сначала приведем все выражение к нулю:

   4x³ - x > 0 можно переписать как 4x³ - x = 0.

2. Найдем корни уравнения:

   Решим уравнение 4x³ - x = 0:

   • Вынесем x за скобки:

   x(4x² - 1) = 0.

   • Теперь у нас есть два множителя: x = 0 и 4x² - 1 = 0.
   • Решим 4x² - 1 = 0:
   • 4x² = 1
   • x² = 1/4
   • x = ±1/2.

   Таким образом, у нас есть три корня: x = 0, x = 1/2 и x = -1/2.

3. Определим интервалы:

   Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные корни:

   • (-∞, -1/2)
   • (-1/2, 0)
   • (0, 1/2)
   • (1/2, +∞)
4. Проверим знаки на каждом интервале:

   Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство 4x³ - x:

   • Для интервала (-∞, -1/2): выберем x = -1.

   4(-1)³ - (-1) = 4(-1) - (-1) = -4 + 1 = -3 (меньше 0).

   • Для интервала (-1/2, 0): выберем x = -0.25.

   4(-0.25)³ - (-0.25) = 4(-0.015625) + 0.25 = -0.0625 + 0.25 = 0.1875 (больше 0).

   • Для интервала (0, 1/2): выберем x = 0.25.

   4(0.25)³ - (0.25) = 4(0.015625) - 0.25 = 0.0625 - 0.25 = -0.1875 (меньше 0).

   • Для интервала (1/2, +∞): выберем x = 1.

   4(1)³ - (1) = 4(1) - 1 = 4 - 1 = 3 (больше 0).

5. Соберем результаты:

   Мы получили следующие знаки на интервалах:

   • (-∞, -1/2) - меньше 0
   • (-1/2, 0) - больше 0
   • (0, 1/2) - меньше 0
   • (1/2, +∞) - больше 0

   Таким образом, неравенство 4x³ - x > 0 выполняется на интервалах (-1/2, 0) и (1/2, +∞).

6. Запишем ответ:

   Ответ: x ∈ (-1/2, 0) ∪ (1/2, +∞).