Давайте решим каждое из уравнений с модулем по порядку.

1. Уравнение: |3x + 2| = 4

Чтобы решить это уравнение, нам нужно рассмотреть два случая, так как модуль может принимать положительное и отрицательное значение.

1. Случай 1: 3x + 2 = 4
• Вычтем 2 из обеих сторон: 3x = 4 - 2
• 3x = 2
• Теперь разделим обе стороны на 3: x = 2/3
2. Случай 2: 3x + 2 = -4
• Вычтем 2 из обеих сторон: 3x = -4 - 2
• 3x = -6
• Теперь разделим обе стороны на 3: x = -2

Таким образом, решения для первого уравнения: x = 2/3 и x = -2.

2. Уравнение: ||x - 3| + 3| - 3 = 3

Сначала упростим уравнение:

||x - 3| + 3| = 6

Теперь рассмотрим два случая.

1. Случай 1: |x - 3| + 3 = 6
• Вычтем 3 из обеих сторон: |x - 3| = 3
• Теперь снова рассматриваем два случая:
• Случай 1.1: x - 3 = 3
• x = 6
• Случай 1.2: x - 3 = -3
• x = 0
2. Случай 2: |x - 3| + 3 = -6
• Этот случай невозможен, так как модуль не может быть отрицательным.

Таким образом, решения для второго уравнения: x = 6 и x = 0.

3. Уравнение: |9 - x| + |1 + x| = 8

Здесь также рассмотрим несколько случаев.

1. Случай 1: 9 - x ≥ 0 и 1 + x ≥ 0 (то есть x ≤ 9 и x ≥ -1)
• Тогда уравнение принимает вид: (9 - x) + (1 + x) = 8
• Упростим: 10 = 8 (это невозможно).
2. Случай 2: 9 - x ≥ 0 и 1 + x < 0 (то есть x ≤ 9 и x < -1)
• Уравнение: (9 - x) - (1 + x) = 8
• Упростим: 9 - x - 1 - x = 8
• 8 - 2x = 8
• 2x = 0, x = 0 (но x не может быть меньше -1, значит, этот случай не подходит).
3. Случай 3: 9 - x < 0 и 1 + x ≥ 0 (то есть x > 9 и x ≥ -1)
• Уравнение: -(9 - x) + (1 + x) = 8
• Упростим: -9 + x + 1 + x = 8
• 2x - 8 = 8
• 2x = 16, x = 8
• Этот случай подходит, так как x = 8 > 9.
4. Случай 4: 9 - x < 0 и 1 + x < 0 (то есть x > 9 и x < -1, что невозможно).

Таким образом, единственное решение для третьего уравнения: x = 8.

Итак, подводя итог:

• Первое уравнение: x = 2/3 и x = -2
• Второе уравнение: x = 6 и x = 0
• Третье уравнение: x = 8