Давайте решим оба уравнения по шагам.

Первое уравнение: (x-6)(7+x) + (3x)(3+x) = 0

1. Сначала раскроем скобки в обоих произведениях.
2. (x-6)(7+x) = x*7 + x*x - 6*7 - 6*x = 7x + x^2 - 42 - 6x = x^2 + x - 42
3. (3x)(3+x) = 3x*3 + 3x*x = 9x + 3x^2
4. Теперь подставим эти выражения в уравнение:
5. x^2 + x - 42 + 9x + 3x^2 = 0
6. Сложим подобные слагаемые:
7. (1x^2 + 3x^2) + (x + 9x) - 42 = 0
8. 4x^2 + 10x - 42 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение 4x^2 + 10x - 42 = 0. Используем дискриминант для его решения.

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = 10, c = -42.
• D = 10^2 - 4*4*(-42) = 100 + 672 = 772.

Теперь находим корни уравнения по формуле:

• x = (-b ± √D) / (2a)
• x = (-10 ± √772) / (2*4)
• √772 можно упростить: √772 = √(4*193) = 2√193.
• Теперь подставим это значение в формулу:
• x = (-10 ± 2√193) / 8 = -5/4 ± √193/4.

Таким образом, корни первого уравнения:

x1 = -5/4 + √193/4 и x2 = -5/4 - √193/4.

Второе уравнение: (x-4)(4+x) - (1-x)(9-x) = 0

1. Сначала раскроем скобки:
2. (x-4)(4+x) = x*4 + x*x - 4*4 - 4*x = 4x + x^2 - 16 - 4x = x^2 - 16.
3. (1-x)(9-x) = 1*9 - 1*x - x*9 + x^2 = 9 - 9x - x + x^2 = x^2 - 10x + 9.
4. Теперь подставим эти выражения в уравнение:
5. x^2 - 16 - (x^2 - 10x + 9) = 0.
6. Раскроем скобки и упростим:
7. x^2 - 16 - x^2 + 10x - 9 = 0.
8. Упрощаем: 10x - 25 = 0.

Теперь решим линейное уравнение:

• 10x = 25.
• x = 25 / 10 = 2.5.

Таким образом, корень второго уравнения:

x = 2.5.

Ответ:

Первое уравнение имеет корни: x1 = -5/4 + √193/4 и x2 = -5/4 - √193/4.

Второе уравнение имеет корень: x = 2.5.