СРОЧНО!!!

Какова сумма: 1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+⋯+1/(2013*2015)?

Алгебра 8 класс Суммы ряда алгебра 8 класс сумма дробей математическая последовательность задачи на сумму дроби и суммы Арифметические операции решение алгебраических задач Новый

Для решения этой задачи давайте сначала рассмотрим общий член последовательности, который мы хотим суммировать. Мы видим, что каждый член имеет вид:

1/(n*(n+2))

где n – нечетное число, начиная с 1 и заканчивая 2013. То есть, n принимает значения 1, 3, 5, ..., 2013.

Теперь давайте найдем, сколько нечетных чисел в этом диапазоне. Последнее нечетное число 2013. Нечетные числа от 1 до 2013 образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2. Количество членов этой прогрессии можно найти по формуле:

Количество = (последний член - первый член) / разность + 1

Подставим значения:

Количество = (2013 - 1) / 2 + 1 = 1007

Теперь мы можем записать сумму:

S = 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... + 1/(2013*2015)

Мы можем использовать разложение на простые дроби, чтобы упростить каждый член суммы:

1/(n*(n+2)) = 1/2 * (1/n - 1/(n+2))

Теперь подставим это в сумму:

S = 1/2 * (1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... + 1/2013 - 1/2015)

Мы видим, что эта сумма является телескопической. Все внутренние члены сокращаются, и остается только:

S = 1/2 * (1 - 1/2015)

Теперь вычислим это:

S = 1/2 * (2015 - 1) / 2015 = 1/2 * 2014 / 2015 = 1007 / 2015

Таким образом, окончательный ответ для суммы:

1007 / 2015