Давайте решим каждое из заданий по порядку, используя свойства степеней с рациональными показателями.

Для умножения степеней с одинаковым основанием мы используем правило: a^m * a^n = a^(m+n). В нашем случае основание 5, а показатели 1/4 и 3/4.

1. Сложим показатели: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1.
2. Теперь у нас получается: 5^(1) = 5.

Ответ: 5.

Когда мы возводим степень в степень, мы умножаем показатели: (a^m)^n = a^(m*n). Здесь у нас основание 2, показатель 1/3 и 6.

1. Умножим показатели: (1/3) * 6 = 6/3 = 2.
2. Теперь у нас получается: 2^(2) = 4.

Ответ: 4.

Здесь мы имеем дробь в степени. Мы можем взять корень из дроби, используя правило: (a/b)^n = a^n / b^n.

1. Вычислим: (9/25)^(1/2) = 9^(1/2) / 25^(1/2).
2. Корень из 9 равен 3, а корень из 25 равен 5.
3. Таким образом, получаем: 3/5.

Ответ: 3/5.

Здесь мы можем использовать правило: a^(m/n) = n-ый корень из a в степени m. В нашем случае основание 8, показатель 2/3.

1. Сначала найдем кубический корень из 8, который равен 2.
2. Теперь возведем 2 в степень 2: 2^2 = 4.

Ответ: 4.

Здесь мы просто возводим дробь в степень. Используем правило: (a/b)^n = a^n / b^n.

1. Вычислим: (1/3)^8 = 1^8 / 3^8.
2. 1^8 = 1, а 3^8 = 6561.
3. Таким образом, получаем: 1/6561.

Ответ: 1/6561.

Итак, мы решили все задачи. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!