Давайте упростим каждое из данных алгебраических выражений по очереди.

5^(2n) + 3 * 5^(2n - 1) = 25^(2n + 1)

1. Сначала заметим, что 25 можно выразить как 5^2. Таким образом, 25^(2n + 1) можно записать как (5^2)^(2n + 1).
2. Применим правило степени: (a^m)^n = a^(m*n). В нашем случае это будет равно 5^(2*(2n + 1)) = 5^(4n + 2).
3. Теперь у нас есть равенство: 5^(2n) + 3 * 5^(2n - 1) = 5^(4n + 2).
4. Чтобы упростить левую часть, вынесем общий множитель 5^(2n - 1):
5. 5^(2n) + 3 * 5^(2n - 1) = 5^(2n - 1) * (5 + 3) = 5^(2n - 1) * 8.
6. Теперь у нас есть: 5^(2n - 1) * 8 = 5^(4n + 2).
7. Теперь мы можем приравнять множители: 8 = 5^(4n + 2 - (2n - 1)).
8. Это упростится до 8 = 5^(2n + 3).
9. Так как 8 = 2^3, а 5^(2n + 3) не может равняться 2^3 для всех n, то это равенство не выполняется для всех n.

Таким образом, первое выражение не имеет общего решения для всех n.

2^m * 3^(n - 1) - 2^(m - 1) * 3^n = 2^m * 3^n

1. Начнем с того, что упростим левую часть. Мы можем выразить 3^(n - 1) как 3^n / 3.
2. Таким образом, 2^m * 3^(n - 1) = 2^m * (3^n / 3) = (2^m / 3) * 3^n.
3. Теперь у нас есть: (2^m / 3) * 3^n - 2^(m - 1) * 3^n = 2^m * 3^n.
4. Вынесем 3^n за скобки из левой части: 3^n * ((2^m / 3) - 2^(m - 1)).
5. Теперь у нас есть: 3^n * ((2^m / 3) - 2^(m - 1)) = 2^m * 3^n.
6. Приравняем множители: (2^m / 3) - 2^(m - 1) = 2^m.
7. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от деления: 2^m - 3 * 2^(m - 1) = 3 * 2^m.
8. Теперь упростим: 2^m - (3/2) * 2^m = 3 * 2^m.
9. Это упростится до: (1 - 3/2) * 2^m = 3 * 2^m.
10. Таким образом, у нас получается -1/2 * 2^m = 3 * 2^m, что также не может быть верным для всех m.

Таким образом, второе выражение также не имеет общего решения для всех m.