В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма членов на нечетных местах составляет 36, а сумма членов на четных местах равна 12. Какова эта прогрессия?

Алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия сумма членов нечётные места чётные места алгебра 8 класс задачи на прогрессии решение задачи убывающая прогрессия Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q, при этом 0 < q < 1.

Сначала определим сумму членов на нечетных местах. Члены на нечетных местах в прогрессии будут выглядеть так: a, aq^2, aq^4, .... Это также является геометрической прогрессией, где первый член a и знаменатель q^2.

Сумма этой прогрессии можно найти по формуле:

• S_нечетные = a / (1 - q^2)

По условию задачи, эта сумма равна 36:

• a / (1 - q^2) = 36

Теперь найдем сумму членов на четных местах. Члены на четных местах будут выглядеть так: aq, aq^3, aq^5, .... Это также геометрическая прогрессия, где первый член aq и знаменатель q^2.

Сумма этой прогрессии также можно найти по формуле:

• S_четные = aq / (1 - q^2)

По условию задачи, эта сумма равна 12:

• aq / (1 - q^2) = 12

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a / (1 - q^2) = 36
2. aq / (1 - q^2) = 12

Из первого уравнения выразим a:

• a = 36(1 - q^2)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение:

• 36(1 - q^2)q / (1 - q^2) = 12

После сокращения (1 - q^2) получаем:

• 36q = 12

Теперь решим это уравнение:

• q = 12 / 36 = 1/3

Теперь, когда мы знаем q, подставим его обратно, чтобы найти a:

• a = 36(1 - (1/3)^2)
• a = 36(1 - 1/9)
• a = 36(8/9)
• a = 32

Теперь у нас есть первый член a = 32 и знаменатель q = 1/3.

Таким образом, члены прогрессии будут:

• Первый член: 32
• Второй член: 32 * (1/3) = 32/3
• Третий член: 32 * (1/3)^2 = 32/9
• Четвертый член: 32 * (1/3)^3 = 32/27
• И так далее...

Итак, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет вид:

32, 32/3, 32/9, 32/27, ...