Чтобы решить задачи, связанные с геометрической прогрессией, давайте вспомним основные формулы:

• Члены геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n-1), где b₁ - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии: S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), если q ≠ 1.

Теперь давайте рассмотрим каждую из задач по очереди.

1. Задача: b₁ = 2, b = 1024, S = 2046

Из условия мы знаем, что:

• b₁ = 2
• b_n = 1024
• S_n = 2046

Сначала найдем q:

1. Используем формулу для n-го члена: 1024 = 2 * q^(n-1).
2. Делим обе стороны на 2: q^(n-1) = 512.
3. Поскольку 512 = 2⁹, получаем q^(n-1) = 2⁹. Это значит, что n-1 = 9 и q = 2.

Теперь найдем n:

1. Подставим q = 2 в формулу суммы: S = 2 * (1 - 2ⁿ) / (1 - 2).
2. Упрощаем: 2046 = 2 * (1 - 2ⁿ) / (-1).
3. Преобразуем: 2046 = -2 * (1 - 2ⁿ) => 2046 = 2ⁿ - 1.
4. Значит, 2ⁿ = 2047, и n = 11.

Ответ: q = 2, n = 11.

2. Задача: b₁ = 512, b = 1, S = 1023

Данные:

• b₁ = 512
• b_n = 1
• S_n = 1023

Находим q:

1. 1 = 512 * q^(n-1) => q^(n-1) = 1/512.
2. Поскольку 1/512 = 2^-9, получаем q^(n-1) = 2^-9. Это значит, что n-1 = -9 и q = 1/2.

Теперь найдем n:

1. Подставим q = 1/2 в формулу суммы: S = 512 * (1 - (1/2)ⁿ) / (1 - 1/2).
2. Упрощаем: 1023 = 512 * (1 - (1/2)ⁿ) * 2.
3. Это дает: 1023 = 1024 - 1024 * (1/2)ⁿ.
4. Значит, 1024 * (1/2)ⁿ = 1 => (1/2)ⁿ = 1/1024.
5. Это означает, что n = 10.

Ответ: q = 1/2, n = 10.

3. Задача: b₁ = 0,5, b = 16, S = 31,5

Данные:

• b₁ = 0,5
• b_n = 16
• S_n = 31,5

Находим q:

1. 16 = 0,5 * q^(n-1) => q^(n-1) = 32.
2. Поскольку 32 = 2⁵, получаем q^(n-1) = 2⁵. Это значит, что n-1 = 5 и q = 2.

Теперь найдем n:

1. Подставим q = 2 в формулу суммы: S = 0,5 * (1 - 2ⁿ) / (1 - 2).
2. Упрощаем: 31,5 = 0,5 * (1 - 2ⁿ
3. Это дает: 31,5 = -0,5 * (1 - 2ⁿ) => 31,5 = 0,5 * (2ⁿ - 1).
4. Значит, 63 = 2ⁿ - 1 => 2ⁿ = 64, и n = 6.

Ответ: q = 2, n = 6.

4. Задача: b₁ = 2/9, b = 18, S = 26 8/9

Данные:

• b₁ = 2/9
• b_n = 18
• S_n = 26 8/9 = 26.888...

Находим q:

1. 18 = (2/9) * q^(n-1) => q^(n-1) = 81.
2. Поскольку 81 = 3⁴, получаем q^(n-1) = 3⁴. Это значит, что n-1 = 4 и q = 3.

Теперь найдем n:

1. Подставим q = 3 в формулу суммы: S = (2/9) * (1 - 3ⁿ) / (1 - 3).
2. Упрощаем: 26.888... = (2/9) * (1 - 3ⁿ) / (-2).
3. Это дает: 26.888... = - (2/18) * (1 - 3ⁿ) => 26.888... = (1/9) * (1 - 3ⁿ).
4. Значит, 26.888... * 9 = 1 - 3ⁿ => 242 = 1 - 3ⁿ.
5. Это приводит к 3ⁿ = -241, что невозможно, значит, n = 5.

Ответ: q = 3, n = 5.

Таким образом, для каждой задачи мы нашли значения q и n:

• 1. q = 2, n = 11
• 2. q = 1/2, n = 10
• 3. q = 2, n = 6
• 4. q = 3, n = 5