Решение задачи по геометрической прогрессии:

Геометрическая прогрессия определяется следующим образом:

• b₁ - первый член прогрессии;
• q - знаменатель прогрессии (коэффициент, на который умножается каждый член для получения следующего);
• n - номер члена прогрессии;
• S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Формулы, которые нам понадобятся:

• n-ый член геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n-1)
• Сумма первых n членов: S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), если q ≠ 1

Теперь решим каждый из случаев:

1. Случай 1: b₁ = 0,5, q = 2
• n-ый член: b_n = 0,5 * 2^(n-1)
• Сумма первых n членов: S_n = 0,5 * (1 - 2ⁿ) / (1 - 2) = 0,5 * (1 - 2ⁿ) / (-1) = 0,5 * (2ⁿ - 1)
2. Случай 2: b₁ = 80, b = 5, q = 0,5
• Найдем n: 5 = 80 * (0,5)^(n-1)
• 5/80 = (0,5)^(n-1) => 1/16 = (0,5)^(n-1) => 0,5^4 = 0,5^(n-1) => n - 1 = 4 => n = 5
• Сумма первых n членов: S₅ = 80 * (1 - (0,5)^5) / (1 - 0,5) = 80 * (1 - 1/32) / 0,5 = 80 * (31/32) / 0,5 = 80 * 31/16 = 155
3. Случай 3: b₁ = 3, b = n, b₁ = 256, q = 3
• Найдем n: n = 3 * 3^(n-1) = 256
• 256/3 = 3^(n-1) => 3^(n-1) = 256/3
• 256 = 3^(n-1) * 3 => 256 = 3^n => 256 = 3^4 (n = 5)
• Сумма первых n членов: S₅ = 3 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 3 * (1 - 243) / (-2) = 3 * (-242) / (-2) = 363
4. Случай 4: b₁ = 1,5, b = 240, q = 2
• Найдем n: 240 = 1,5 * 2^(n-1)
• 240 / 1,5 = 2^(n-1) => 160 = 2^(n-1) => 2^7 = 2^(n-1) => n - 1 = 7 => n = 8
• Сумма первых n членов: S₈ = 1,5 * (1 - 2^8) / (1 - 2) = 1,5 * (1 - 256) / (-1) = 1,5 * 255 = 382,5

Ответы:

• Случай 1: n - любое, S_n = 0,5 * (2ⁿ - 1)
• Случай 2: n = 5, S₅ = 155
• Случай 3: n = 5, S₅ = 363
• Случай 4: n = 8, S₈ = 382,5