1. При каких значениях параметра а уравнение (а+6)х+х^-1=2 а имеет только одно решение?

2. Найдите корни уравнения sin2x=2cos^2 (пи/2+х) на отрезке [пи/2; пи].

Алгебра 9 класс 1. Уравнения с параметрами 2. Тригонометрические уравнения параметр а уравнение с одним решением корни уравнения sin2x cos^2 отрезок [пи/2; пи] алгебра 9 класс Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. При каких значениях параметра а уравнение (а+6)х + х^-1 = 2а имеет только одно решение?

Для того чтобы уравнение имело только одно решение, необходимо, чтобы его график касался оси абсцисс в одной точке. Это означает, что дискриминант уравнения должен быть равен нулю.

1. Сначала перепишем уравнение в стандартной форме. Умножим обе стороны на х (при условии, что х не равен нулю):
   • (а + 6)x^2 - 2а x + 1 = 0.
2. Теперь найдем дискриминант D:
   • D = (2а)² - 4(а + 6)(1) = 4а² - 4(а + 6).
   • Упростим: D = 4а² - 4а - 24.
3. Для того чтобы уравнение имело только одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:
   • 4а² - 4а - 24 = 0.
   • Делим на 4: а² - а - 6 = 0.
4. Теперь решим квадратное уравнение:
   • Вычисляем корни с помощью формулы: а = (1 ± √(1 + 24)) / 2 = (1 ± 5) / 2.
   • Корни: а = 3 и а = -2.
5. Таким образом, уравнение (а + 6)x + x^-1 = 2а имеет только одно решение при а = 3 и а = -2.

2. Найдите корни уравнения sin(2x) = 2cos²(пи/2 + х) на отрезке [пи/2; пи].

Решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Сначала упростим правую часть уравнения:
   • cos(пи/2 + х) = -sin(х), поэтому cos²(пи/2 + х) = sin²(х).
   • Таким образом, уравнение принимает вид: sin(2x) = 2sin²(х).
2. Используем формулу для двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:
   • 2sin(x)cos(x) = 2sin²(х).
3. Сократим на 2 (при условии, что sin(x) не равен нулю):
   • sin(x)cos(x) = sin²(х).
4. Переносим все в одну сторону:
   • sin²(х) - sin(x)cos(x) = 0.
5. Факторизуем:
   • sin(x)(sin(x) - cos(x)) = 0.
6. Теперь решим каждое из уравнений:
   • 1) sin(x) = 0. На отрезке [пи/2; пи] это не имеет решений.
   • 2) sin(x) - cos(x) = 0, что означает sin(x) = cos(x). Это происходит, когда x = 3пи/4 на заданном отрезке.
7. Таким образом, единственный корень уравнения sin(2x) = 2cos²(пи/2 + х) на отрезке [пи/2; пи] — это x = 3пи/4.