1. Определение скорости и ускорения точки в момент времени t=2 секунды

Для начала, нам нужно найти скорость и ускорение точки, движущейся по прямой. Мы знаем, что:

• Функция S(t) описывает перемещение точки в зависимости от времени t.
• Скорость v(t) - это производная функции перемещения S(t) по времени t.
• Ускорение a(t) - это производная скорости v(t) по времени t.

1.1. Находим скорость:

1. Запишем функцию S(t): S(t) = t^3 - 4t^2 + 5.
2. Найдем производную S(t) по t, чтобы получить скорость v(t):
3. v(t) = d(S(t))/dt = 3t^2 - 8t.
4. Теперь подставим t=2 в уравнение скорости:
5. v(2) = 3(2^2) - 8(2) = 3(4) - 16 = 12 - 16 = -4.

Таким образом, скорость в момент времени t=2 секунды равна -4 м/с.

1.2. Находим ускорение:

1. Теперь найдем производную скорости v(t) по t, чтобы получить ускорение a(t):
2. a(t) = d(v(t))/dt = d(3t^2 - 8t)/dt = 6t - 8.
3. Подставим t=2 в уравнение ускорения:
4. a(2) = 6(2) - 8 = 12 - 8 = 4.

Таким образом, ускорение в момент времени t=2 секунды равно 4 м/с².

2. Определение экстремумов функции f(x)=4x^2-x^4

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо выполнить следующие шаги:

• Найти производную функции f(x).
• Приравнять производную к нулю и решить уравнение для нахождения критических точек.
• Использовать второй производный тест или тест на знаки, чтобы определить, являются ли найденные критические точки максимумами или минимумами.

2.1. Находим производную:

1. Запишем функцию f(x): f(x) = 4x^2 - x^4.
2. Найдем производную f'(x): f'(x) = d(4x^2 - x^4)/dx = 8x - 4x^3.

2.2. Приравняем производную к нулю:

1. Решим уравнение 8x - 4x^3 = 0.
2. Вынесем общий множитель: 4x(2 - x^2) = 0.
3. Получаем два уравнения: 4x = 0 и 2 - x^2 = 0.
4. Решая их, находим: x = 0 и x = ±√2.

2.3. Определим характер экстремумов:

1. Теперь найдем вторую производную: f''(x) = d(8x - 4x^3)/dx = 8 - 12x^2.
2. Подставим найденные критические точки:
3. f''(0) = 8 - 12(0)^2 = 8 > 0 (минимум);
4. f''(√2) = 8 - 12(2) = 8 - 24 = -16 < 0 (максимум);
5. f''(-√2) = 8 - 12(2) = 8 - 24 = -16 < 0 (максимум).

Таким образом, функция имеет минимум в точке x=0 и максимумы в точках x=√2 и x=-√2.