Давайте решим задачу шаг за шагом, используя систему уравнений.

Обозначим:

• x — время, за которое первый экскаватор выполнит работу самостоятельно (в часах);
• y — время, за которое второй экскаватор выполнит работу самостоятельно (в часах).

По условию задачи, известно, что:

• Если оба экскаватора работают вместе, они выполняют работу за 3 часа 45 минут, что в часах составляет 3.75 часа.
• Первый экскаватор завершает работу на 4 часа раньше, чем второй, то есть x = y - 4.

Теперь можем записать систему уравнений:

1. 1 / x + 1 / y = 1 / 3.75 (это уравнение показывает, что работа, выполненная обоими экскаваторами вместе, равна объему работы, выполненному за 3.75 часа);
2. x = y - 4 (это уравнение связывает время работы обоих экскаваторов).

Теперь подставим второе уравнение в первое. Вместо y подставим x + 4:

1 / x + 1 / (x + 4) = 1 / 3.75

Теперь найдем общее значение:

1 / x + 1 / (x + 4) = 1 / (15 / 4) = 4 / 15

Умножим все уравнение на 15x(x + 4), чтобы избавиться от дробей:

15(x + 4) + 15x = 4x(x + 4)

Раскроем скобки:

15x + 60 + 15x = 4x^2 + 16x

Соберем все члены в одном уравнении:

30x + 60 = 4x^2 + 16x

Переносим все в одну сторону:

4x^2 - 14x - 60 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 4 * (-60) = 196 + 960 = 1156

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a) = (14 ± √1156) / 8

√1156 = 34, поэтому:

x1 = (14 + 34) / 8 = 48 / 8 = 6

x2 = (14 - 34) / 8 = -20 / 8 (отрицательное значение не имеет смысла в нашем контексте).

Таким образом, x = 6 часов.

Теперь найдем y:

y = x + 4 = 6 + 4 = 10 часов.

Итак, время, необходимое каждому экскаватору для выполнения работы самостоятельно:

• Первый экскаватор: 6 часов;
• Второй экскаватор: 10 часов.