Для решения уравнения 14 косинус в квадрате x + синус 2x = 6, начнем с преобразования уравнения.

Шаг 1: Используем тригонометрические идентичности.

Вспомним, что синус двойного угла можно выразить через косинус:

синус 2x = 2 * синус x * косинус x.

Таким образом, уравнение можно записать как:

14 * (косинус x)^2 + 2 * синус x * косинус x - 6 = 0.

Шаг 2: Замена переменных.

Обозначим:

• y = косинус x,
• синус x = √(1 - y^2) (по теореме Пифагора).

Теперь подставим это в уравнение:

14y^2 + 2√(1 - y^2) * y - 6 = 0.

Шаг 3: Упростим уравнение.

Решим это уравнение относительно y. Для этого сначала выразим √(1 - y^2):

2√(1 - y^2) * y = 6 - 14y^2.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

4(1 - y^2)y^2 = (6 - 14y^2)^2.

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим.

Упростим обе стороны уравнения и приведем подобные:

4y^4 - 4y^2 = 36 - 168y^2 + 196y^4.

Переносим все в одну сторону:

192y^4 - 164y^2 + 36 = 0.

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.

Теперь это квадратное уравнение относительно y^2. Обозначим z = y^2:

192z^2 - 164z + 36 = 0.

Используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-164)^2 - 4 * 192 * 36.

Решаем и находим корни уравнения.

Шаг 6: Находим корни y.

После нахождения корней z, возвращаемся к y, где y = √z.

Шаг 7: Находим x.

Теперь, зная значения y, мы можем найти x, используя обратные тригонометрические функции:

x = арккосинус(y) и x = π - арккосинус(y).

Шаг 8: Указываем корни в интервале [0; 3π/2].

Проверяем, какие из найденных значений x попадают в указанный интервал [0; 3π/2].

Таким образом, у нас получится конечный список корней уравнения, которые удовлетворяют заданному условию.