7. Укажите, принадлежит ли число √7 промежутку возрастания функции y = x² - 4x + 5. Обоснуйте свой ответ.

Для начала определим, когда функция y = x² - 4x + 5 возрастает. Для этого найдем производную этой функции.

1. Найдем производную:
   • y' = 2x - 4.
2. Теперь найдем, при каких значениях x производная положительна:
   • Установим неравенство: 2x - 4 > 0.
   • Решим неравенство: 2x > 4, следовательно, x > 2.

Таким образом, функция y = x² - 4x + 5 возрастает на промежутке (2, +∞).

Теперь проверим, принадлежит ли число √7 этому промежутку. Поскольку √7 примерно равно 2.645751, то √7 > 2. Следовательно, √7 принадлежит промежутку возрастания функции.

Ответ: Да, число √7 принадлежит промежутку возрастания функции.

8. Найдите решение уравнения 8/(x² - 4) = (x + 2)/(x - 2) + x/(x + 2).

Для решения уравнения начнем с упрощения правой части уравнения.

1. Запишем уравнение:
   • 8/(x² - 4) = (x + 2)/(x - 2) + x/(x + 2).
2. Обратите внимание, что x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Поэтому:
   • 8/(x - 2)(x + 2) = (x + 2)/(x - 2) + x/(x + 2).
3. Теперь найдем общий знаменатель для правой части. Общий знаменатель будет равен (x - 2)(x + 2):
   • (x + 2)/(x - 2) = (x + 2)(x + 2)/((x - 2)(x + 2)) = (x + 2)²/(x² - 4),
   • x/(x + 2) = x(x - 2)/((x + 2)(x - 2)) = x(x - 2)/(x² - 4).
4. Теперь можем записать правую часть уравнения:
   • 8/(x² - 4) = [(x + 2)² + x(x - 2)]/(x² - 4).
5. Умножим обе стороны на (x² - 4):
   • 8 = (x + 2)² + x(x - 2).
6. Раскроем скобки:
   • (x + 2)² = x² + 4x + 4,
   • x(x - 2) = x² - 2x.
7. Теперь подставим это в уравнение:
   • 8 = x² + 4x + 4 + x² - 2x.
8. Соберем все в одном уравнении:
   • 8 = 2x² + 2x + 4.
9. Переносим 8 в правую часть:
   • 0 = 2x² + 2x + 4 - 8,
   • 0 = 2x² + 2x - 4.
10. Упростим уравнение, деля на 2:
    • 0 = x² + x - 2.
11. Теперь решим квадратное уравнение:
    • Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.
    • Корни уравнения: x = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± 3) / 2.
    • Таким образом, x₁ = 1 и x₂ = -2.

Проверим, не равны ли корни значению, при котором знаменатель равен нулю. Знаменатель равен нулю, когда x = 2 или x = -2. Значит, x = -2 не подходит.

Ответ: x = 1 является решением уравнения.