АЛГЕБРА!!!

Помогите, пожалуйста, с тригонометрическими уравнениями, прошу!!!

1. Как решить уравнение 2sin² x - (√3 + 2)sin x + √3 = 0?
2. Как решить уравнение 2 - 6sin x cos x + cos(5π - 4x) = 0?

Алгебра 9 класс Тригонометрические уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения решение уравнений синус и косинус математическая помощь Новый

Давайте разберем оба уравнения по порядку.

1. Уравнение: 2sin² x - (√3 + 2)sin x + √3 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin x. Мы можем обозначить sin x как t, тогда уравнение примет вид:

2t² - (√3 + 2)t + √3 = 0

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой для нахождения корней:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Где:

• a = 2
• b = -(√3 + 2)
• c = √3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

b² = (√3 + 2)² = 3 + 4√3 + 4 = 7 + 4√3

4ac = 4 * 2 * √3 = 8√3

Теперь найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (7 + 4√3) - 8√3 = 7 - 4√3

Если D ≥ 0, то уравнение имеет действительные корни. Находим корни:

t = (√3 + 2 ± √(7 - 4√3)) / 4

Теперь нам нужно найти значения sin x, которые соответствуют найденным корням t. После этого мы можем найти x, используя обратные функции синуса.

2. Уравнение: 2 - 6sin x cos x + cos(5π - 4x) = 0

Сначала упростим вторую часть уравнения. Мы знаем, что cos(5π - 4x) = -cos(4x). Таким образом, уравнение можно записать как:

2 - 6sin x cos x - cos(4x) = 0

Теперь применим формулу двойного угла для sin: sin(2x) = 2sin x cos x. Тогда 6sin x cos x = 3sin(2x). Подставим это в уравнение:

2 - 3sin(2x) - cos(4x) = 0

Теперь нам нужно выразить cos(4x) через sin(2x). Мы знаем, что cos(4x) = 1 - 2sin²(2x). Подставим это в уравнение:

2 - 3sin(2x) - (1 - 2sin²(2x)) = 0

Упростим уравнение:

2 - 3sin(2x) - 1 + 2sin²(2x) = 0

2sin²(2x) - 3sin(2x) + 1 = 0

Теперь это также квадратное уравнение относительно sin(2x). Обозначим sin(2x) как u:

2u² - 3u + 1 = 0

Решаем его аналогично первому уравнению, используя формулу корней:

u = (3 ± √(9 - 8)) / 4 = (3 ± 1) / 4

Таким образом, у нас есть два корня:

• u₁ = 1
• u₂ = 1/2

Теперь возвращаемся к sin(2x):

• sin(2x) = 1
• sin(2x) = 1/2

Для первого случая: 2x = π/2 + 2kπ, где k - целое число, отсюда x = π/4 + kπ.

Для второго случая: 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ, отсюда x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ.

Таким образом, мы нашли все решения для обоих уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!