Рассмотрим функцию y = 3x^2 - 7x + 4. Это квадратная функция, и мы можем выполнить необходимые вычисления, чтобы найти координаты вершины параболы, промежутки возрастания и убывания, а также наименьшее значение функции.

Координаты вершины параболы для функции вида y = ax^2 + bx + c можно найти по следующим формулам:

• x_0 = -b / (2a), где a и b - коэффициенты из функции.
• y_0 = f(x_0), где f(x_0) - значение функции в найденной точке x_0.

В нашем случае:

• a = 3
• b = -7
• c = 4

Сначала найдем x_0:

• x_0 = -(-7) / (2 * 3) = 7 / 6.

Теперь подставим x_0 в функцию, чтобы найти y_0:

• y_0 = 3(7/6)^2 - 7(7/6) + 4.
• Сначала вычислим (7/6)^2 = 49/36.
• Теперь подставим это значение: y_0 = 3 * (49/36) - 7 * (7/6) + 4 = 147/36 - 49/6 + 4.
• Приведем все к общему знаменателю 36: y_0 = 147/36 - 294/36 + 144/36 = -3/36 = -1/12.

Таким образом, координаты вершины параболы: (7/6, -1/12).

Для определения промежутков возрастания и убывания функции нужно обратить внимание на коэффициент a:

• Если a > 0, то парабола открыта вверх, и функция будет убывать на промежутке (-∞, x_0) и возрастать на промежутке (x_0, +∞).
• Если a < 0, то парабола открыта вниз, и функция будет возрастать на промежутке (-∞, x_0) и убывать на промежутке (x_0, +∞).

В нашем случае a = 3 > 0, следовательно:

• Функция убывает на промежутке: (-∞, 7/6).
• Функция возрастает на промежутке: (7/6, +∞).

Наименьшее значение функции для параболы, открытой вверх, достигается в вершине. Мы уже нашли координаты вершины: y_0 = -1/12. Таким образом, наименьшее значение функции равно -1/12.

В итоге мы имеем:

• Координаты вершины параболы: (7/6, -1/12).
• Промежутки убывания: (-∞, 7/6); промежутки возрастания: (7/6, +∞).
• Наименьшее значение функции: -1/12.