1. Для функции y = x^2 найдите значения y при x = −4 и x = 5.

1. y(−4) = (−4)^2 = 16.
2. y(5) = 5^2 = 25.

2. Имеет ли смысл выражение: √0; √16; √(−9); √7 ?

1. √0 = 0 — имеет смысл (квадратный корень из нуля равен нулю).
2. √16 = 4 — имеет смысл (берём неотрицательный корень из положительного числа).
3. √(−9) — в множестве действительных чисел не имеет смысла (квадратный корень из отрицательного числа не существует в R); в комплексных числах есть значения ±3i.
4. √7 — имеет смысл (это положительное иррациональное число ≈ 2,6458…).

3. Вычислите:

• √(1/16) = 1/4. Объяснение: √(1/16) = √1 / √16 = 1/4.
• √9 = 3.
• −5·√1,96 = −5·1,4 = −7. (Потому что 1,4^2 = 1,96.)
• (√19)^2 = 19. (Квадрат корня даёт исходное неотрицательное число.)
• 0,4·14,4 = 5,76. (0,4 = 4/10, 14,4 = 144/10, произведение = 576/100 = 5,76.)
• √80 : 5 = (√80)/5 = (√(16·5))/5 = (4√5)/5 = (4/5)·√5.

4. Сократите дробь (7 + √x) / (x − 49).

1. Запишем x − 49 как (√x)^2 − 7^2 = (√x − 7)(√x + 7), при условии x ≥ 0 (чтобы √x имел смысл).
2. Тогда (7 + √x)/(x − 49) = (√x + 7)/((√x + 7)(√x − 7)) = 1/(√x − 7), при x ≥ 0 и x ≠ 49 (чтобы не делить на ноль).

5. Решите уравнения:

• √x = 4/3. Возведя в квадрат: x = (4/3)^2 = 16/9. (Проверка: x ≥ 0 — выполняется.)
• ∛x = −9. Возводим в куб: x = (−9)^3 = −729.
• x^2 = 64/49. Решения: x = ±8/7.
• x^2 = −4. В действительных числах решений нет (квадрат не может быть отрицательным). В комплексных — x = ±2i.

6. Упростите выражения:

• 5·√(16·y^2), если y ≥ 0. Сначала √(16·y^2) = 4|y| = 4y (так как y ≥ 0). Значит 5·4y = 20y.
• √(100·y^2 / 81·x^6), если x < 0, y < 0. Пишем √((100·y^2)/(81·x^6)) = (10|y|)/(9|x^3|). Так как y < 0, |y| = −y; так как x < 0, |x^3| = −x^3. Подставляем: (10(−y))/(9(−x^3)) = 10y/(9x^3). (Также требуется x ≠ 0.)

7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

• 4 / √5 = (4√5)/(√5·√5) = 4√5/5.
• (5 − √3) / 11 — знаменатель 11 уже рационален, поэтому "избавляться" не требуется; дробь уже имеет рациональный знаменатель. Можно записать как 5/11 − (√3)/11, если нужно.

8. Дано x = (9 + 4√5) / (9 − 4√5). Найдите x^2 и прокомментируйте, рационально ли число x.

1. Упростим x. Умножим числитель и знаменатель на (9 + 4√5):
2. x = ((9 + 4√5)(9 + 4√5))/((9 − 4√5)(9 + 4√5)) = (9 + 4√5)^2 / (81 − (4√5)^2).
3. Вычислим знаменатель: (4√5)^2 = 16·5 = 80, значит 81 − 80 = 1. Следовательно x = (9 + 4√5)^2.
4. Развернём квадрат: x = 9^2 + 2·9·4√5 + (4√5)^2 = 81 + 72√5 + 80 = 161 + 72√5.
5. Итак x = 161 + 72√5. Это число содержит множитель √5 с ненулевым коэффициентом, значит x — иррациональноe число (в действительных числах). Следовательно требование "докажите, что x — рациональное число" некорректно: x не является рациональным.
6. Если нужно найти x^2, то можно возвести найденное выражение в квадрат: x^2 = (161 + 72√5)^2 = (161^2 + 2·161·72√5 + 5·72^2), что даёт выражение, содержащее член с √5, поэтому и x^2 иррационально. (Можно выполнить конкретные арифметические вычисления при желании.)

Комментарий: в восьмом пункте при вычислениях видно, что (9 − 4√5)(9 + 4√5) = 1, поэтому x = (9 + 4√5)^2 = 161 + 72√5, и это число иррационально. Возможно в условии была ошибка: утверждение о рациональности x неверно.

1. Для функции y = x^2 найдите значения y при x = −4 и x = 5

1. При x = −4: y = (−4)^2 = 16.
2. При x = 5: y = 5^2 = 25.

2. Имеет ли смысл выражения √0; √16; √(−9); √7 ?

1. √0 = 0 (имеет смысл, так как подкоренное число ≥ 0).
2. √16 = 4 (имеет смысл, т.к. 16 ≥ 0; главная квадратичная корень положителен).
3. √(−9) в поле действительных чисел не имеет смысла (нет действительного числа, квадрат которого равен −9); в комплексных числах имеет смысл, но это выходит за рамки обычной алгебры 9 класса.
4. √7 имеет смысл (радиканд положителен), но значение иррационально (приблизительно 2,6457…).

3. Вычислите

1. √(1/16) = 1/4. (Так как √(1/16) = √1 / √16 = 1/4.)
2. √9 = 3.
3. −5·√1,96. Сначала √1,96 = 1,4. Тогда −5·1,4 = −7.
4. (√19)^2 = 19 (квадрат главного корня даёт исходное неотрицательное подкоренное число).
5. 0,4·14,4 = 0{,}4·14{,}4 = 5{,}76.
6. √80 : 5 = √80 / 5. Упростим √80 = √(16·5) = 4√5, значит результат = (4√5)/5 = (4/5)√5.

4. Сократите дробь (7 + √x) / (x − 49)

1. Представим x − 49 как разность квадратов: x − 49 = (√x)^2 − 7^2 = (√x − 7)(√x + 7), (при условии x ≥ 0).
2. Тогда (7 + √x)/(x − 49) = (√x + 7)/((√x − 7)(√x + 7)) = 1/(√x − 7), при x ≥ 0 и x ≠ 49 (при x = 49 знаменатель исходной дроби = 0, выражение не определено).

5. Решите уравнения

1. √x = 4/3. Возводим в квадрат: x = (4/3)^2 = 16/9. (Проверка: x ≥ 0 верна.)
2. ∛x = −9. Возводим в третью степень: x = (−9)^3 = −729.
3. x^2 = 64/49. Тогда x = ±8/7 (две корня: 8/7 и −8/7).
4. x^2 = −4. В действительных числах нет решений (квадрат вещественного числа не может быть отрицательным).

6. Упростите выражения

1. 5·√(16·y^2), если y ≥ 0. √(16·y^2) = √16 · √(y^2) = 4·|y| = 4y (так как y ≥ 0). Значит выражение = 5·4y = 20y.
2. √(100·y^2 / 81·x^6), если x < 0, y < 0. Сначала распишем корень: √(100·y^2 / (81·x^6)) = (10·|y|)/(9·|x^3|) = (10·|y|)/(9·|x|^3).
• Поскольку y < 0, |y| = −y.
• Поскольку x < 0, |x| = −x, так что |x|^3 = (−x)^3 = −x^3 (но это положительно, так что правильно: |x|^3 = −x^3).
3. Подставляя знаки получаем: (10·(−y))/(9·(−x^3)) = 10y/(9x^3). (Знаки в числителе и знаменателе сократились.)

7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

1. 4 / √5. Домножим числитель и знаменатель на √5: (4·√5)/(√5·√5) = 4√5/5.
2. (5 − √3) / 11. Здесь знаменатель = 11 — рациональное число, иррациональности в знаменателе нет, дробь уже с рациональным знаменателем; менять ничего не нужно.

8. Дано x = (9 + 4√5) / (9 − 4√5). Найдите x^2 и прокомментируйте рациональность x

1. Заметим, что (9 − 4√5)(9 + 4√5) = 9^2 − (4√5)^2 = 81 − 16·5 = 81 − 80 = 1. Значит 9 − 4√5 = 1/(9 + 4√5).
2. Тогда x = (9 + 4√5)/(9 − 4√5) = (9 + 4√5)·(9 + 4√5) = (9 + 4√5)^2.
3. Вычислим (9 + 4√5)^2 = 9^2 + 2·9·4√5 + (4√5)^2 = 81 + 72√5 + 16·5 = 81 + 72√5 + 80 = 161 + 72√5.
4. Значит x = 161 + 72√5. Тогда x^2 = (161 + 72√5)^2 = 161^2 + 2·161·72√5 + (72√5)^2 = 25921 + 23184√5 + 72^2·5 = 25921 + 23184√5 + 25920 = 51841 + 23184√5.
5. Вывод о рациональности: в выражении x = 161 + 72√5 присутствует член с √5 (72√5), поэтому x не является рациональным числом — оно иррационально. (Возможно, в условии опечатка: вместо «докажите, что x — рациональное число» должно было быть «докажите, что x — иррациональное число».)

Решение всех пунктов.

1. Для функции y = x^2 найдите значения y, которые соответствуют x = −4; x = 5.

   • При x = −4: y = (−4)^2 = 16.
   • При x = 5: y = 5^2 = 25.

2. Имеет ли смысл выражение: √0; √16; √(−9); √7 ?

   • √0 = 0 — имеет смысл (квадратный корень из 0 равен 0).
   • √16 = 4 — имеет смысл (главный квадратный корень положителен).
   • √(−9) — не имеет смысла в множестве действительных чисел (квадратный корень из отрицательного числа не является действительным).
   • √7 — имеет смысл, это положительное иррациональное число (примерно 2,64575...).

3. Вычислите:

   • √(1/16) = 1/4.
   • √9 = 3.
   • −5·√1,96: √1,96 = 1,4, значит −5·1,4 = −7.
   • (√19)^2 = 19 (так как возведение в квадрат обращает главный корень).
   • 0,4·14,4 = 5,76 (умножаем: 14,4·0,4 = 5,76).
   • √80 : 5 = (√(16·5))/5 = (4√5)/5 = (4/5)·√5.

4. Сократите дробь (7 + √x) / (x − 49).

   • Заметим, что при условии определения √x (т.е. x ≥ 0): x − 49 = (√x)^2 − 7^2 = (√x − 7)(√x + 7).
   • Тогда (7 + √x)/(x − 49) = (√x + 7)/((√x − 7)(√x + 7)) = 1/(√x − 7), при x ≥ 0 и x ≠ 49 (чтобы не делить на 0).

5. Решите уравнения:

   • √x = 4/3 ⇒ возведём в квадрат (учитывая x ≥ 0): x = (4/3)^2 = 16/9.
   • ∛x = −9 ⇒ возведём в куб (кубический корень определён для всех действительных): x = (−9)^3 = −729.
   • x^2 = 64/49 ⇒ x = ±8/7 (две корня: 8/7 и −8/7).
   • x^2 = −4 ⇒ в действительных числах решений нет (квадрат не может быть отрицательным).

6. Упростите выражения:

   • 5·√(16·y^2), если y ≥ 0.
     √(16·y^2) = 4·|y| = 4y (так как y ≥ 0), значит результат = 5·4y = 20y.
   • √(100·y^2 / 81·x^6), если x < 0, y < 0.
     Запишем подкоренное как (100/81)·(y^2/x^6). Тогда √ = (10/9)·(|y|/|x^3|). Так как y < 0, |y| = −y; так как x < 0, |x^3| = −x^3. Следовательно |y|/|x^3| = (−y)/(−x^3) = y/x^3. Итого √(...) = (10/9)·(y/x^3) = 10y/(9x^3). (При этом x ≠ 0.)

7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

   • 4 / √5: умножаем числитель и знаменатель на √5 → (4√5)/(√5·√5) = 4√5/5.
   • (5 − √3) / 11: знаменатель 11 уже рационален, иррациональности в знаменателе нет, поэтому можно оставить как есть (дополнительных преобразований не требуется).

8. Дано x = (9 + 4√5) / (9 − 4√5). Найдите x^2 и проанализируйте, рационально ли x.

   • Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на (9 + 4√5):
   • x = (9 + 4√5)^2 / (9^2 − (4√5)^2) = (9 + 4√5)^2 / (81 − 16·5) = (9 + 4√5)^2 / 1 = (9 + 4√5)^2.
   • Вычислим квадрат: (9 + 4√5)^2 = 9^2 + 2·9·4√5 + (4√5)^2 = 81 + 72√5 + 16·5 = 81 + 72√5 + 80 = 161 + 72√5.
   • Следовательно x = 161 + 72√5. Это число содержит ненулевой множитель при √5, значит x иррационально (не является рациональным числом).
   • Далее x^2 = (161 + 72√5)^2 при желании можно разложить: x^2 = 161^2 + 2·161·72√5 + (72√5)^2 = 51841 + 23184√5 + 25920 = 77761 + 23184√5 (можно оставить в виде (161 + 72√5)^2). Это также иррационально.
   • Замечание: требование "докажите, что x — рациональное число" в условии некорректно: на самом деле x иррационально, как показано выше.

1. Для функции y = x^2 найдите значения y при x = −4 и x = 5.

• y = (−4)^2 = 16.
• y = 5^2 = 25.

2. Имеет ли смысл выражение √0; √16; √(−9); √7?

• √0 = 0 — имеет смысл (корень определён, равен 0).
• √16 = 4 — имеет смысл (в основном подразумевается главный неотрицательный корень).
• √(−9) — не имеет смысла в рамках действительных чисел (корень из отрицательного числа не действителен).
• √7 — имеет смысл, но результат иррационален (около 2,64575...).

3. Вычислите:

• √(1/16) = 1/4.
• √9 = 3.
• −5·√1,96 = −5·1,4 = −7 (потому что √1,96 = 1,4).
• (√19)^2 = 19 (квадрат корня даёт подкоренное число, так как √19 ≥ 0).
• 0,4·14,4 = 5,76.
• √80 : 5 = (√(16·5)) / 5 = (4√5) / 5 = (4/5)·√5.

4. Сократите дробь (7 + √x) / (x − 49).

• Предполагаем x ≥ 0 (чтобы √x определён). Запишем x − 49 = (√x)^2 − 7^2 = (√x − 7)(√x + 7).
• Числитель 7 + √x = √x + 7, значит можно сократить на этот множитель (он никогда не равен 0 для √x ≥ 0, кроме случая √x = −7, но это невозможно).
• Итог: (7 + √x)/(x − 49) = 1/(√x − 7), при x ≥ 0 и x ≠ 49 (при x = 49 исходная дробь не определена).

5. Решите уравнения:

• √x = 4/3 → x = (4/3)^2 = 16/9 (проверяем: x ≥ 0 — OK).
• ∛x = −9 → x = (−9)^3 = −729 (кубический корень допускает отрицательные значения).
• x^2 = 64/49 → x = ±8/7.
• x^2 = −4 → нет действительных решений (квадрат числа не может давать отрицательное число).

6. Упростите выражения:

• 5·√(16·y^2), если y ≥ 0. Внутри: √(16·y^2) = 4·|y| = 4y (так как y ≥ 0). Тогда 5·4y = 20y.
• √(100·y^2 / (81·x^6)), если x < 0, y < 0. Сначала √(100·y^2) = 10|y| = −10y (так как y < 0), и √(81·x^6) = 9|x^3| = 9|x|^3 = 9(−x)^3? удобнее: |x| = −x, поэтому √(x^6)=|x|^3=(−x)^3 = −x^3 (но положительно). В итоге дробь под корнем даёт (10|y|)/(9|x|^3) = (−10y)/(−9 x^3) = 10y/(9 x^3). Таким образом итог: 10y/(9 x^3) (при x ≠ 0).

7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

• 4 / √5 = (4√5) / 5 (умножили числитель и знаменатель на √5).
• (5 − √3) / 11 — знаменатель 11 уже рационален, поэтому дополнительно ничего делать не надо; дробь уже имеет рациональный знаменатель.

8. Дано x = (9 + 4√5) / (9 − 4√5). Найдите x^2 и определите, рационально ли x.

• Домножим числитель и знаменатель на (9 + 4√5): x = (9 + 4√5)^2 / ((9 − 4√5)(9 + 4√5)).
• В знаменателе: (9 − 4√5)(9 + 4√5) = 9^2 − (4√5)^2 = 81 − 16·5 = 81 − 80 = 1. Следовательно x = (9 + 4√5)^2.
• Вычислим квадрат: x = (9 + 4√5)^2 = 9^2 + 2·9·4√5 + (4√5)^2 = 81 + 72√5 + 80 = 161 + 72√5.
• Следовательно x = 161 + 72√5. Это выражение содержит √5 с ненулевым коэффициентом, значит x — иррациональное число (не является рациональным). Если требуется, можно найти и x^2: x^2 = (161 + 72√5)^2 = 51841 + 23184√5 (полный разворот можно вычислить по формуле квадрата суммы).
• Итого: x = 161 + 72√5 (иррационально). В условии требование «докажите, что x — рациональное число» некорректно: по вычислению видно, что x иррационально.