Докажите, что неравенство x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 >= 0 является справедливым.

Алгебра 9 класс Неравенства второй степени неравенство алгебра доказательство x^2 y^2 6x 4y 13 справедливость математический анализ Новый

Для доказательства неравенства x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 >= 0 мы можем преобразовать его в более удобную для анализа форму, используя метод completing the square (завершение квадрата).

Шаг 1: Группируем члены, содержащие x, и члены, содержащие y.

• Сначала рассмотрим x: x^2 - 6x.
• Завершим квадрат: x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.

Шаг 2: Теперь рассмотрим y: y^2 + 4y.

• Завершим квадрат: y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.

Шаг 3: Подставляем полученные выражения обратно в неравенство:

(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 13 >= 0.

Шаг 4: Упрощаем неравенство:

• Сложим все константы: -9 - 4 + 13 = 0.
• Таким образом, мы получаем: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 >= 0.

Шаг 5: Теперь рассмотрим выражение (x - 3)^2 + (y + 2)^2. Это сумма квадратов двух чисел.

Сумма квадратов всегда неотрицательна, и равна нулю только в случае, если оба квадрата равны нулю:

• (x - 3)^2 = 0, что дает x = 3.
• (y + 2)^2 = 0, что дает y = -2.

Таким образом, (x - 3)^2 + (y + 2)^2 >= 0 для всех x и y, и равен 0 только в точке (3, -2).

Следовательно, неравенство x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 >= 0 является справедливым для всех значений x и y.