Чтобы доказать неравенство x^3 - 4x^2 - 3x + 19 > 0 при условии x >= 3, мы начнем с подстановки значения x = 3 и проверки, выполняется ли неравенство.

1. Подставим x = 3 в выражение:
• 3^3 - 4 * 3^2 - 3 * 3 + 19
• Вычислим каждую часть:
• 3^3 = 27
• 4 * 3^2 = 4 * 9 = 36
• 3 * 3 = 9
• Теперь подставим значения:
27 - 36 - 9 + 19
• Сложим и вычтем:
• 27 - 36 = -9
• -9 - 9 = -18
• -18 + 19 = 1
2. Получили, что 1 > 0, значит, неравенство выполняется при x = 3.

Теперь нужно проверить, выполняется ли неравенство для всех x >= 3. Для этого мы можем рассмотреть производную функции f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 19, чтобы понять, как ведет себя функция на интервале [3, +∞).

1. Найдем производную:
f'(x) = 3x^2 - 8x - 3
2. Теперь найдем корни уравнения 3x^2 - 8x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100
• Корни будут равны:
• x1 = (8 + √100) / (2 * 3) = (8 + 10) / 6 = 3
• x2 = (8 - √100) / (2 * 3) = (8 - 10) / 6 = -1/3
3. Анализируем производную:
• Производная f'(x) меняет знак в точке x = 3.
• Для x < 3 производная f'(x) < 0, а для x > 3 производная f'(x) > 0.

Это означает, что функция f(x) возрастает на интервале [3, +∞). Так как мы уже проверили, что f(3) = 1 > 0, то для всех x >= 3 функция будет оставаться положительной.

Таким образом, мы доказали, что неравенство x^3 - 4x^2 - 3x + 19 > 0 выполняется при x >= 3.