Как можно доказать неравенство:

(а+в)(1/а+1/в) больше либо равно 4?

Алгебра 9 класс Неравенства доказать неравенство алгебра 9 класс (а+в)(1/а+1/в) больше 4 неравенства в алгебре алгебраические неравенства Новый

Для доказательства неравенства (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4, мы можем воспользоваться методом неравенства Коши-Буняковского. Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом.

1. Запишем выражение:

   Мы имеем выражение (a + b)(1/a + 1/b). Раскроем его:

   (a + b)(1/a + 1/b) = a * (1/a) + a * (1/b) + b * (1/a) + b * (1/b) = 1 + (a/b) + (b/a) + 1 = 2 + (a/b) + (b/a).

2. Используем неравенство AM-GM:

   Теперь применим неравенство арифметической и геометрической сред:

   Для положительных a и b справедливо, что (a/b) + (b/a) ≥ 2, так как среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому.

   Следовательно, мы можем записать:

   (a/b) + (b/a) ≥ 2.

3. Соберем всё вместе:

   Теперь подставим это неравенство в наше выражение:

   (a + b)(1/a + 1/b) = 2 + (a/b) + (b/a) ≥ 2 + 2 = 4.

4. Вывод:

   Таким образом, мы доказали, что (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4 для любых положительных a и b.

Это неравенство достигает равенства, когда a = b. Таким образом, мы завершили доказательство!