Как можно определить целые значения для уравнения x² - xy - 2y² = 1?

Алгебра 9 класс Уравнения с двумя переменными уравнение целые значения x² - xy - 2y² = 1 алгебра 9 класс решение уравнений методы решения математический анализ Новый

Для того чтобы найти целые значения x и y, которые удовлетворяют уравнению x² - xy - 2y² = 1, мы можем использовать метод подбора, а также анализировать уравнение. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Перепишем уравнение:

   Уравнение можно записать в виде:

   x² - xy - 2y² - 1 = 0.

2. Рассмотрим его как квадратное уравнение:

   Мы можем рассматривать x как переменную, а y как параметр. Тогда уравнение имеет вид:

   x² - xy - (2y² + 1) = 0.

   Это квадратное уравнение относительно x.

3. Найдем дискриминант:

   Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант D определяется как D = b² - 4ac.

   В нашем случае:

   • a = 1,
   • b = -y,
   • c = -(2y² + 1).

   Следовательно, дискриминант будет:

   D = (-y)² - 4 * 1 * (-(2y² + 1)) = y² + 8y² + 4 = 9y² + 4.

4. Условия для целых решений:

   Для того чтобы x было целым, дискриминант D должен быть полным квадратом. То есть:

   9y² + 4 = k², где k - целое число.

5. Решение уравнения:

   Перепишем уравнение:

   k² - 9y² = 4.

   Это уравнение имеет вид разности квадратов:

   (k - 3y)(k + 3y) = 4.

   Теперь мы можем рассмотреть возможные пары множителей, которые дают 4:

   • (1, 4),
   • (2, 2),
   • (-1, -4),
   • (-2, -2).
6. Подбор значений:

   Для каждой пары (m, n) из множителей:

   • m = k - 3y, n = k + 3y.
   • Решим систему уравнений:
   • k - 3y = m,
   • k + 3y = n.
   • Из этих уравнений найдем k и y:
   • k = (m + n) / 2,
   • 3y = (n - m) / 2.
7. Проверка целых значений:

   После нахождения y, подставляем его обратно в уравнение для x:

   x = (y ± √D) / 2.

   Проверяем, получаются ли целые значения x.

Повторяя этот процесс для различных значений y, мы можем найти все целые решения уравнения x² - xy - 2y² = 1. Это может занять некоторое время, но в итоге вы сможете получить все целые пары (x, y), удовлетворяющие данному уравнению.