Как можно определить все возможные значения a, при которых данное уравнение имеет ровно один корень?

Уравнение выглядит следующим образом: (x-2a)/(x+2) + (x-1)/(x-a) = 1. Пожалуйста, решите его с объяснениями.

Алгебра 9 класс Уравнения с параметрами алгебра 9 класс уравнение с одним корнем решение уравнения определение значений a математические уравнения алгебраические выражения анализ уравнений Новый

Для того чтобы определить все возможные значения a, при которых уравнение (x-2a)/(x+2) + (x-1)/(x-a) = 1 имеет ровно один корень, мы начнем с приведения уравнения к более удобному виду.

Первым шагом мы можем привести все члены уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей (x + 2) и (x - a) будет равен (x + 2)(x - a).

Перепишем уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на (x + 2)(x - a):
2. Получаем: (x - 2a)(x - a) + (x - 1)(x + 2) = (x + 2)(x - a).

Теперь раскроем скобки:

1. Слева: (x - 2a)(x - a) = x^2 - (2a + a)x + 2a^2.
2. Слева: (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2.
3. Справа: (x + 2)(x - a) = x^2 + (2 - a)x - 2a.

Теперь объединим все выражения:

Слева у нас получится:

x^2 - (3a)x + 2a^2 + x - 2 = x^2 + (2 - a)x - 2a

Теперь упростим это уравнение:

Переносим все в одну сторону:

(3 - a)x + (2a^2 - 2 + 2a) = 0

Теперь у нас есть линейное уравнение, и чтобы у него был ровно один корень, необходимо, чтобы коэффициент при x равнялся нулю, а свободный член тоже равнялся нулю.

Рассмотрим два условия:

• 3 - a = 0 (коэффициент при x)
• 2a^2 - 2 + 2a = 0 (свободный член)

Решим первое уравнение:

a = 3

Теперь подставим a = 3 во второе уравнение:

2(3)^2 - 2 + 2(3) = 18 - 2 + 6 = 22, что не равно нулю. Таким образом, при a = 3 у нас не будет ровно одного корня.

Теперь рассмотрим случай, когда 3 - a не равно нулю, чтобы уравнение имело ровно один корень. Это значит, что 2a^2 + 2a - 2 = 0.

Решим это уравнение:

a^2 + a - 1 = 0

Используем дискриминант:

D = 1^2 - 41(-1) = 1 + 4 = 5

Корни уравнения:

a = (-1 ± √5)/2

Таким образом, у нас есть два значения для a, при которых уравнение будет иметь ровно один корень:

• a1 = (-1 + √5)/2
• a2 = (-1 - √5)/2

В заключение, все возможные значения a, при которых данное уравнение имеет ровно один корень, это a = (-1 + √5)/2 и a = (-1 - √5)/2.