Как можно подтвердить следующее неравенство: а) 9а + 1/а >= 6 при а > 0; б) 25в + 1/в <= -10 при в < 0?

Алгебра 9 класс Неравенства неравенство алгебра 9 класс подтверждение неравенства решение неравенств математический анализ свойства неравенств Новый

Давайте разберем оба неравенства по отдельности.

а) 9a + 1/a >= 6 при a > 0

Чтобы подтвердить это неравенство, мы можем использовать метод анализа функции или метод производной. Однако, проще всего будет применить метод неравенств, например, неравенство Коши-Буняковского или просто исследование функции.

1. Сначала преобразуем неравенство:
2. Переносим 6 в левую часть: 9a + 1/a - 6 >= 0.
3. Теперь мы можем рассмотреть функцию f(a) = 9a + 1/a - 6.
4. Для нахождения минимумов функции, найдем производную f'(a):
5. f'(a) = 9 - 1/a².
6. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 9 - 1/a² = 0.
7. Решаем это уравнение: 1/a² = 9, отсюда a² = 1/9, а значит a = 1/3 (при a > 0).
8. Теперь проверим значение функции f(a) в точке a = 1/3:
9. f(1/3) = 9*(1/3) + 1/(1/3) - 6 = 3 + 3 - 6 = 0.
10. Поскольку f(1/3) = 0, а также f(a) стремится к бесконечности при a → 0 и a → ∞, мы можем заключить, что f(a) >= 0 для всех a > 0.

Таким образом, неравенство 9a + 1/a >= 6 действительно верно при a > 0.

б) 25b + 1/b

Для этого неравенства мы можем использовать аналогичный подход. Рассмотрим функцию g(b) = 25b + 1/b.

1. Мы хотим доказать, что g(b) >= 0 для b > 0.
2. Найдем производную g'(b): g'(b) = 25 - 1/b².
3. Приравняем производную к нулю: 25 - 1/b² = 0, отсюда 1/b² = 25, значит b² = 1/25, а b = 1/5 (при b > 0).
4. Теперь проверим значение функции g(b) в точке b = 1/5:
5. g(1/5) = 25*(1/5) + 1/(1/5) = 5 + 5 = 10.
6. Так как g(b) стремится к бесконечности при b → 0 и b → ∞, мы видим, что g(b) всегда положительно для b > 0.

Таким образом, неравенство 25b + 1/b >= 0 также верно для всех b > 0.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этим неравенствам или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!