Как можно провести исследование функции y=(x^2-1)/x?

Алгебра 9 класс Исследование функции исследование функции алгебра 9 класс график функции анализ функции y=(x^2-1)/x свойства функции нахождение пределов поведение функции Новый

Чтобы провести исследование функции y = (x^2 - 1) / x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции

Сначала определим, для каких значений x функция y определена. Поскольку в знаменателе у нас есть x, функция не будет определена, когда x = 0. Таким образом, область определения будет:

• x ∈ R, x ≠ 0

2. Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, приравняем числитель к нулю:

• x^2 - 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• x^2 = 1
• x = ±1

Таким образом, нули функции: x = -1 и x = 1.

3. Исследование асимптот

Теперь посмотрим на асимптоты. Для этого рассмотрим поведение функции при x, стремящемся к 0 и к бесконечности.

• Когда x → 0, y = (x^2 - 1) / x → -∞ или +∞ (в зависимости от направления подхода к 0).
• Когда x → ±∞, y = (x^2 - 1) / x = x - 1/x → x (функция ведет себя как прямая y = x).

Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота при x = 0 и наклонная асимптота y = x.

4. Нахождение производной

Теперь найдем производную функции, чтобы исследовать её монотонность:

• y' = (x(2x) - (x^2 - 1)(1)) / x^2 = (2x^2 - x^2 + 1) / x^2 = (x^2 + 1) / x^2.

Производная y' всегда положительна (x^2 + 1 > 0 для всех x), следовательно, функция возрастает на всей области определения.

5. Исследование на выпуклость

Для исследования выпуклости найдем вторую производную:

• y'' = (2x) / x^2 - (x^2 + 1)(2) / x^4.

В данном случае, анализируя вторую производную, можно установить, что функция выпуклая на всей области определения.

6. Построение графика функции

Теперь, зная, что функция возрастает и имеет асимптоты, можно построить график. Начертите оси координат, отметьте нули функции (-1 и 1), вертикальную асимптоту (x = 0) и наклонную асимптоту (y = x). Затем соедините точки, учитывая, что функция возрастает и имеет выпуклость.

Таким образом, мы провели полное исследование функции y = (x^2 - 1) / x. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!